Pięciokąt

Pięciokąt (pięciobok) – wielokąt o pięciu bokach. Każdy pięciokąt ma pięć przekątnych. Szczególnym przypadkiem pięciokąta jest pięciokąt foremny.

Pięciokąt foremny – figura wypukła, pięciokąt o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych. Pięciokąty foremne stanowią ściany takich wielościanów, jak m.in. Dwunastościan foremny i dwudziestościan ścięty.

Właściwości

Pięciokąt foremny

Animowane przedstawienie konstrukcji

Pięciokąt foremny ma następujące właściwości ($a\,$ oznacza jego bok):

• jest foremny
• każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę $\frac{3}{5}\pi = 108^\circ\,$
• kąt środkowy okręgu opisanego oparty na boku pięciokąta ma miarę $\frac{2}{5}\pi = 72^\circ.\,$
• pole powierzchni tej figury oblicza się ze wzoru

$P = \frac{5a^2}{4}\operatorname{ctg} \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \approx 1,72048 a^2$

• długość promienia okręgu opisanego na pięciokącie foremnym oblicza się ze wzoru

$R=\frac{2a}{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}$

• długość promienia okręgu wpisanego w pięciokąt foremny oblicza się ze wzoru

$r=\frac{a}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$

• przekątna ma długość

$d=\frac{\sqrt{5}+1}{2}a=\varphi a,$ gdzie $\varphi\,$ to złota liczba

• wysokość

$h=R+r=a\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}$

Konstrukcja

1. Rysujemy okrąg o środku S.
2. Rysujemy średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS.
3. Wyznaczamy połowę jednego z promieni zawierających się w średnicy – punkt A.
4. Odmierzamy odległość AB tworząc łuk od punktu A, wyznaczający punkt C jego przecięcia na średnicy.
5. Odcinek BC jest długością boku pięciokąta.

Zobacz też

• pentagram
• złoty podział
• kopuła geodezyjna
• trójkąt równoboczny
• kwadrat
• sześciokąt foremny