Pierścień (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: pierścień kołowy w geometrii.

Pierścieństruktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. pierścienia łącznego. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: pierścień z jedynką, pierścień przemienny.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (R, +, \cdot, 0) będzie algebrą, w której R jest pewnym niepustym zbiorem, symbole +, \cdot oznaczają dwa działania dwuargumentowe określone w tym zbiorze, a 0 jest pewnym wyróżnionym elementem. Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli:

Ponieważ R^+ jest grupą, to pierścień ma dokładnie jedno zero, a element odwrotny do a względem dodawania (element b z trzeciego aksjomatu), nazywany w tym kontekście elementem przeciwnym, jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczany -a.

Warianty[edytuj | edytuj kod]

Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności precyzując nazwę nowej struktury:

Uwaga
W pierścieniu z jedynką struktura (R, \cdot, 1) jest monoidem (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.

W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką; ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.

Rodzaje[edytuj | edytuj kod]

Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:

Element odwrotny do a (względem mnożenia; b w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami a^{-1} lub \tfrac{1}{a}. Zbiór R^* elementów odwracalnych pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; przemienną, jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także grupą multiplikatywną. W pierścieniu z dzieleniem jest R^* = R \setminus \{0\}.

Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera[2], to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Do najprostszych uniwersalnych przykładów należą:

Innymi ważnymi przykładami pierścieni są:

Osobnym przykładem są pierścienie wielomianów R[X] jednej zmiennej X o współczynnikach z pierścienia R. W R[X] zachowywane są następujące własności pierścienia R: przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu (twierdzenie Gaussa), noetherowskość (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli R jest ciałem, to R[X] jest pierścieniem euklidesowym.

Dobrze znane struktury liczb wymiernych, liczb rzeczywistych, czy liczb zespolonych z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są ciałami. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) nie tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet grupy; oktoniony również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest łączne, lecz tylko alternatywne.

Składowe[edytuj | edytuj kod]

Podpierścienie[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: podpierścień.

Podzbiór S pierścienia (R, +, \cdot) nazywa się podpierścieniem, jeżeli jest on zamknięty na działania pierścienia R, czyli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z R:

  • \forall_{a, b \in S}\; a - b \in S,
  • \forall_{a, b \in S}\; a \cdot b \in S.

Pierwszy warunek oznacza, że (S, +) musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z S będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym działaniem wewnętrznym).

Ideały[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: ideał (teoria pierścieni).

Podgrupę I grupy addytywnej pierścienia R nazywa się ideałem lewostronnym, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów i \in I oraz r \in R spełniony jest warunek

r \cdot i \in I.

Jeżeli I spełnia w zamian warunek

i \cdot r \in I,

to nazywa się ją ideałem prawostronnym. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko ideałem; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.

W dowolnym nietrywialnym pierścieniu R istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień R i podpierścień trywialny \{0\}, nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.

Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia R:

  • ideał główny – generowany przez jeden element pierścienia,
  • ideał maksymalny – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym R,
  • ideał pierwszy – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.

Elementy wyróżnione[edytuj | edytuj kod]

Element a pierścienia R nazywa się

W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.

Homomorfizmy[edytuj | edytuj kod]

Przekształcenie f: R_1 \to R_2 między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów a, b \in R_1 spełnione są warunki:

  • f(a + b) = f(a) + f(b),
  • f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),

nazywa się homomorfizmem pierścieni. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm półgrup multiplikatywnych tych pierścieni.

Przekształcenie f: R_1 \to R_2 między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów a,b \in R_1 spełnione są warunki:

  • f(a + b) = f(a) + f(b),
  • f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),
  • f(1_{R_1}) = 1_{R_2},

nazywa się homomorfizmem pierścieni z jedynką. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm monoidów multiplikatywnych.

Pierścień ilorazowy[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: pierścień ilorazowy.

W dowolnym pierścieniu (R, +, \cdot) grupa ilorazowa R/I, gdzie I \subseteq R jest dowolnym ideałem (dwustronnym), jest pierścieniem z dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia na warstwach:

  • (a + I) + (b + I) = (a + b) + I,
  • (a + I) \cdot (b + I) = (a \cdot b) + I.

Pierścień ten nazywa się pierścieniem ilorazowym pierścienia R przez ideał I i również oznacza symbolem R/I.

Dodawanie jest dobrze określone z definicji grupy ilorazowej. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru reprezentanta mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy: a + I = a' + I oraz b + I = b' + I. Równość

(a \cdot b) + I = (a + I) \cdot (b + I) = (a' + I) \cdot (b' + I) = (a' \cdot b') + I

dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.

Uogólnienia i przypadki szczególne[edytuj | edytuj kod]

Wyróżnia się wiele rodzajów pierścieni, na które nakłada się dodatkowe warunki:

Przypisy

  1. Niekiedy wymaga się, aby był on różny od elementu neutralnego dodawania wykluczając przy tym przypadek pierścienia zerowego, przybliżając definicję pierścienia do określenia ciała.
  2. Z aksjomatu istnienia elementu odwrotnego wynika, że dla każdego \scriptstyle a \ne 0 istnieje element odwrotny \scriptstyle a^{-1}. Gdyby pierścień miał dzielniki zera, to istniałyby takie \scriptstyle a, b \ne 0, że \scriptstyle ab = 0. Lewostronne mnożenie stronami przez \scriptstyle a^{-1} daje \scriptstyle a^{-1}ab = 0; z istnienia elementu neutralnego mnożenia otrzymuje się sprzeczność z założeniem \scriptstyle b = 0.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Andrzej Białynicki-Birula, Algebra
  • Jerzy Browkin, Teoria ciał

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło pierścień w Wikisłowniku