Pierścień Dedekinda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień Dedekinda jest to pierścień całkowity oznaczany jako \mathbb{Z}[i\sqrt{5}] i zdefiniowany następująco \mathbb{Z}[i\sqrt{5}]=\{a+i\sqrt{5}b: a,b\in{\mathbb Z}\}. Ciekawą własnością tego pierścienia jest to, że liczba 2\in{\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]} jest elementem nierozkładalnym, ale nie jest elementem pierwszym.

Pierścienie Dedekinda[edytuj | edytuj kod]

Jeśli pierścień R jest podpierścieniem pierścienia S, to element s\in S nazywamy całkowitym nad R, gdy spełnia on warunek

s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_n =0 dla pewnej liczby naturalnej n i elementów a_1 ,\ldots ,a_{n-1}, a_n \in R

(por. twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o całkowitych współczynnikach).

Pierścieniem Dedekinda nazywamy każdy pierścień całkowity noetherowski R całkowicie domknięty (normalny: każdy element całkowity jego ciała ułamków należy do R) w którym każdy niezerowy ideał pierwszy jest ideałem maksymalnym. Równoważne sformułowanie: pierścień R jest regularny wymiaru 0.

Jeśli ciało F jest skończonym rozszerzeniem ciała liczb wymiernych \mathbb{Q} (tzn. F zawiera \mathbb{Q} jako podciało i jako przestrzeń liniowa nad \mathbb{Q} ma skończony wymiar), to zbiór wszystkich elementów ciała F całkowitych nad \mathbb{Z} jest pierścieniem Dedekinda (w szczególności pierścień \mathbb{Z} jest pierścieniem Dedekinda).

Inne przykłady pierścieni Dedekinda to pierścienie funkcji regularnych na regularnych krzywych algebraicznych.

Istnieją pierścienie Dedekinda bez jednoznaczności rozkładu, np. \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\mathbb{Z}[i\sqrt{5}] (w pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy). Jednakże każdy niezerowy ideał pierścienia Dedekinda ma jednoznaczne przedstawienie jako iloczyn ideałów maksymalnych.

Jeśli pierścień Dedekinda jest z jednoznacznością rozkładu, to jest pierścieniem ideałów głównych. Jednakże w każdym pierścieniu Dedekinda każdy ideał niezerowy ma dwuelementowy zbiór generatorów.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, PWN 1977,
  • Władysław Narkiewicz, Elementary and Analitic Theory of Algebraic Numbers, PWN 1974.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]