Pierścień endomorfizmów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pierścień endomorfizmów – w algebrze abstrakcyjnej pierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.

Grupy abelowe[edytuj | edytuj kod]

Niech (A, +) będzie grupą abelową. Zgodnie z nazwą, elementami pierścienia endomorfizmów grupy A są endomorfizmy określone na A, tzn. homomorfizmy grupowe A \to A. Każde dwa takie endomorfizmy f oraz g mogą być dodawane (zgodnie z wzorem (f + g)(x) = f(x) + g(x)), a ich wynik, f + g, również jest endomorfizmem A. Co więcej, f i g mogą być składane dając tym samym endomorfizm f \circ g. Zbiór wszystkich endomorfizmów A wraz ze wspomnianym dodawaniem i mnożeniem (danym jako składanie) spełnia aksjomaty pierścienia; jego jedynką jest przekształcenie tożsamościowe na A. Pierścienie endomorfizmów zwykle nie są przemienne.

Uwaga 
Powyższa konstrukcja nie działa dla grup nieabelowych: suma dwóch homomorfizmów nie musi być wówczas homomorfizmem[1]

Moduły i przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego[2], ang. regular). Odwrotnie, R-moduł M jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia R w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej M.

Jeżeli K^n jest przestrzeń liniową nad ciałem K, to pierścień endomorfizmów K^n (składający się ze wszystkich K-przekształceń liniowych K^n \to K^n) utożsamia się w naturalny sposób z pierścieniem macierzy typu n \times n o elementach z K[3] (zob. macierz).

Teoria kategorii[edytuj | edytuj kod]

W ogólności pierścienie endomorfizmów można definiować dla obiektów dowolnej kategorii preaddytywnej. Warto wspomnieć, że możliwe jest zdefiniowanie w naturalny sposób funktora z kategorii grup abelowych \mathbf{Ab} w kategorię pierścieni \mathbf{Ring} za pomocą pojęcia pierścienia endomorfizmów.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Pierścień endomorfizmów grupy abelowej jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana grupa jest trywialna.

Często możliwe jest wyrażenie własności obiektów za pomocą własności jego pierścienia endomorfizmów, np.:

  • jeżeli moduł jest prosty, to jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem (wynik znany jako lemat Schura)[4];
  • moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizmów nie zawiera żadnych nietrywialnych idempotentów[5]. Nierozkładalność i silna nierozkładalność są częstokroć definiowane za pomocą odpowiednich własności skojarzonego z nimi pierścienia endomorfizmów.

Przypisy

  1. David Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.
  2. Moduł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu \scriptstyle N istnieje homomorfizm \scriptstyle \alpha\colon M \to N taki, że \scriptstyle \alpha^2 = \alpha, \scriptstyle \operatorname{im}\;\alpha jest projektywny i \scriptstyle (1 - \alpha)N = 0.
  3. Yu. A. Drozd i V. V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. ss. 23-24
  4. Yu. A. Drozd i V. V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.
  5. Yu. A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.