Pierścień ideałów głównych

Pierścień ideałów głównych (także pierścien główny) - w algebrze pierścień całkowity, którego każdy ideał jest ideałem głównym.

Własności

• Każdy pierścień główny jest pierścieniem noetherowskim ponieważ każdy jego ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, a zatem skończony.

• Każdy pierścień główny jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

• Każde dwa elementy $a,b$ pierścienia ideałów głównych $P$ mają największy wspólny dzielnik $\operatorname{NWD}(a,b)$, który daje się zapisać w postaci $ax+by$ dla pewnych $x,y\in P$.

• W pierścieniu ideałów głównych $P$ element $q\in P$ jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, $(q)$ jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $P/(q)$ jest ciałem.

• W pierścieniu ideałów głównych każdy ideał pierwszy jest maksymalny.

Przykłady

Pierścieniami głównymi są:

• pierścień liczb całkowitych,
• pierścień wielomianów o współczynnikach w dowolnym ciele,
• dowolne ciało,
• każdy pierścień Euklidesa.

Bibliografia

1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.