Pierścień lokalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień lokalny - pierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym.
  • Pierścień noetherowski R jest pierścieniem lokalnym, a ideał \mathfrak{m} jest ideałem maksymalnym pierścienia R wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru R\setminus \mathfrak{m} jest jednością pierścienia R.
  • Jeżeli \mathfrak{m} jest ideałem maksymalnym w pierścieniu lokalnym, to
\bigcap_{n=0}^\infty \mathfrak{m}^n=\{0\}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest \{0\}).
  • Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
  • Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech X będzie przestrzenią topologiczną oraz p\in X. Rozpatrzmy zbiór par (V,f), gdzie V jest otoczeniem punktu p i f\colon V\to \mathbb{R} jest funkcją ciągłą. Określmy relację (V_1,f_1)\sim (V_2, f_2)\iff f_1|_U=f_2|_U dla pewnego otoczenia U punktu p. Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę (V,f) oznaczmy [V,f]. W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić [X,0] jako element zerowy i [X,1] jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie p przestrzeni topologicznej X i oznaczamy przez \mathcal{O}_{X,p}. Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał \mathfrak{m}_{X,p} złożony z wszystkich klas abstrakcji [V,f], że f(p)=0. Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy C^r w punkcie p rozmaitości różniczkowej X, a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej.
  • Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego R i jego ideału pierwszego P pierścień złożony z elementów postaci \frac{a}{b}, gdzie a \in R, b \in R \setminus P jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów \frac{a}{b}, dla których a \in P .
  • Dla nierozkładalnego podzbioru W zbioru algebraicznego V pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach W jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na W. Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.

Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny) P nazywany jest

Ponadto, dla dowolnego pierścienia P następujące warunki są równoważne:

  1. P jest pierścieniem lokalnym;
  2. P ma dokładnie jeden ideał lewostronny;
  3. P ma dokładnie jeden ideał prawostronny;
  4. zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w P jest ideałem;
  5. dla każdej liczby naturalnej n i a1, ..., anP , o ile tylko element a1 + ... + an jest odwracalny, to istnieje takie in, że ai jest odwracalny.

Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1997, s. 142-144.
  2. Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972, s. 284.
  3. Tsit Yuen Lam: A first course in noncommutative rings. Wyd. Second edition. New York: Springer-Verlag, 2001, s. 284, seria: Graduate Texts in Mathematics, 131. ISBN 0-387-95183-0.