Pierścień lokalny

Pierścień lokalny - pierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny.

Własności

• Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym.
• Pierścień noetherowski $R$ jest pierścieniem lokalnym, a ideał $\mathfrak{m}$ jest ideałem maksymalnym pierścienia $R$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru $R\setminus \mathfrak{m}$ jest jednością pierścienia $R$.
• Jeżeli $\mathfrak{m}$ jest ideałem maksymalnym w pierścieniu lokalnym, to

$\bigcap_{n=0}^\infty \mathfrak{m}^n=\{0\}$.

Przykłady

• Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest $\{0\}$).
• Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.
• Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $p\in X$. Rozpatrzmy zbiór par $(V,f)$, gdzie $V$ jest otoczeniem punktu $p$ i $f\colon V\to \mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą. Określmy relację $(V_1,f_1)\sim (V_2, f_2)\iff f_1|_U=f_2|_U$ dla pewnego otoczenia $U$ punktu $p$. Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę $(V,f)$ oznaczmy $[V,f]$. W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić $[X,0]$ jako element zerowy i $[X,1]$ jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie $p$ przestrzeni topologicznej $X$ i oznaczamy przez $\mathcal{O}_{X,p}$. Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał $\mathfrak{m}_{X,p}$ złożony z wszystkich klas abstrakcji $[V,f]$, że $f(p)=0$. Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy $C^r$ w punkcie $p$ rozmaitości różniczkowej $X$, a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej.
• Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego $R$ i jego ideału pierwszego $P$ pierścień złożony z elementów postaci $\frac{a}{b}$, gdzie $a \in R, b \in R \setminus P$ jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów $\frac{a}{b}$, dla których $a \in P$.
• Dla nierozkładalnego podzbioru $W$ zbioru algebraicznego $V$ pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach $W$ jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na $W$. Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.

Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne

Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny) P nazywany jest

• pierścieniem lokalnym, gdy pierścień ilorazowy P / rad P jest pierścieniem z dzieleniem;
• pierścieniem semilokalnym, gdy P / rad P jest pierścieniem artinowskim.

Ponadto, dla dowolnego pierścienia P następujące warunki są równoważne:

1. P jest pierścieniem lokalnym;
2. P ma dokładnie jeden ideał lewostronny;
3. P ma dokładnie jeden ideał prawostronny;
4. zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w P jest ideałem;
5. dla każdej liczby naturalnej n i a₁, ..., a_n ∈ P , o ile tylko element a₁ + ... + a_n jest odwracalny, to istnieje takie i ≤ n, że a_i jest odwracalny.

Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.

Bibliografia

1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1997, s. 142-144.
2. Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972, s. 284.
3. Tsit Yuen Lam: A first course in noncommutative rings. Wyd. Second edition. New York: Springer-Verlag, 2001, s. 284, seria: Graduate Texts in Mathematics, 131. ISBN 0-387-95183-0.