Pierścień noetherowski

Pierścieniem noetherowskim nazywa się taki pierścień $R$ przemienny z jedynką, którego każdy ideał właściwy jest skończenie generowany. Oznacza to, że dla każdego ideału $I$ pierścienia $R$ istnieją takie elementy $a_1, a_2, \ldots, a_k \in R$, że

$I=\{a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_kx_k : x_1, x_2,\ldots x_k \in R\}$.

Równoważnie, można powiedzieć, że pierścień $R$ jest noetherowski, jeżeli każdy ideał tego pierścienia można przedstawić w postaci skończonej sumy ideałów głównych pierścienia $R$.

Przykłady

• Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
• Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem noetherowskim, co więcej: każdy ideał tego pierścienia jest ideałem głównym, tzn. $(r)=\{rx : x \in R\}$.

Własności

• Pierścień $R$ jest noetherowski dokładnie wtedy, gdy każdy ciąg jego wstępujących ideałów stabilizuje się.
• Twierdzenie Hilberta o bazie: Jeżeli pierścień $R$ jest noetherowski, to jego pierścień wielomianów $R\left[X\right]$ również jest noetherowski.

Zobacz też

• Emmy Noether,
• pierścień.