Pierścień noetherowski

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścieniem noetherowskim nazywa się taki pierścień R przemienny z jedynką, którego każdy ideał właściwy jest skończenie generowany. Oznacza to, że dla każdego ideału I pierścienia R istnieją takie elementy a_1, a_2, \ldots, a_k \in R, że

I=\{a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_kx_k : x_1, x_2,\ldots x_k \in R\}.

Równoważnie, można powiedzieć, że pierścień R jest noetherowski, wtedy i tylko wtedy gdy każdy ideał tego pierścienia można przedstawić w postaci skończonej sumy ideałów głównych pierścienia R.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
  • Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem noetherowskim, co więcej: każdy ideał tego pierścienia jest ideałem głównym, tzn.  (r)=\{rx : x \in R\} .

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Pierścień R jest noetherowski dokładnie wtedy, gdy każdy ciąg jego wstępujących ideałów stabilizuje się.
  • Twierdzenie Hilberta o bazie: Jeżeli pierścień R jest noetherowski, to jego pierścień wielomianów R\left[X\right] również jest noetherowski.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]