Pierścień trywialny

Pierścień trywialny – pierścień określony na jednoelementowym zbiorze.

Definicja

Pierścień $(R, +, \cdot)$ nazywamy trywialnym, gdy jest on określony na jednoelementowym zbiorze $R=\{r\}$.

Wówczas z definicji pierścienia działania w tym pierścieniu są określone następująco:

$r+r=r \,$

$r\cdot r=r$.

Własności

• Pierścień trywialny jest jedynym pierścieniem, w którym elementy neutralne dodawania i mnożenia są sobie równe: $r=0=1$. Co więcej pierścień $R$ jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy elementy neutralne obu działań tego pierścieni są sobie równe. Mamy: $\forall_{r\in R}\; r = r \cdot 1 = r \cdot 0 = 0$.
• Pierścienie trywialne są przemienne.
• Pierścienie trywialne są jedynymi skończonymi pierścieniami uporządkowanymi.

Zobacz też

• teoria pierścieni
• pierścień zerowy