Pierścień wielomianów

Pierścień wielomianów – w matematyce, a szczególnie w algebrze, pierścień określony na zbiorze wielomianów jednej lub więcej zmiennych o współczynnikach z ustalonego pierścienia. Pierścienie wielomianów stanowiły inspirację do rozwoju wielu działów matematyki, począwszy od twierdzenia Hilberta o bazie, przez konstrukcję ciał rozdzielczych, po rozumienie operatora liniowego. Wiele ważnych hipotez, takich jak hipoteza Serre'a, wpłynęło na badania nad innymi rodzajami pierścieni, a nawet było źródłem nowych definicji pierścieni, takich jak pierścienie grupowe, czy pierścienie szeregów formalnych.

Wielomiany jednej zmiennej

Wielomiany

Wprowadzenie do wielomianów jednej zmiennej można znaleźć w artykule o wielomianach.

Niech dany będzie dowolny pierścień z jedynką $R$ oraz symbol $X$ nazywany zmienną oraz jego potęgi, czyli symbole postaci $X^k,$ gdzie $k$ jest nieujemną liczbą całkowitą. Wielomianem zmiennej $X$ nad $R$ nazywa się wyrażenie postaci

$\mathrm p = \sum_{k = 0}^n a_k X^k,$

gdzie elementy $a_k \in R$ nazywa się współczynnikami tego wielomianu.

Przyjmując zwyczajowo $X^1 = X$ oraz $X^0 = 1$ powyższe można zapisać jako kombinację liniową

$\mathrm p = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0.$

Wyrażenia postaci $a_k X^k$ nazywa się wyrazami, wyraz $a_0$ często określa się mianem wyrazu wolnego. Dowolny wyraz $a_k X^k$ o zerowym współczynniku, $a_k = 0,$ zwykle się pomija.

Dwa wielomiany uważa się za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie współczynniki przy każdej potędze $X$ są sobie równe. Stopniem wielomianu nazywa się największe takie $k,$ dla którego współczynnik przy $X^k$ jest niezerowy. W przypadku wielomianu zerowego stopień jest niezdefiniowany lub, z racji pożądanych własności algebraicznych tego symbolu, przyjmuje się oznaczenie $-\infty.$

Pierścień wielomianów

Sumy powyższej postaci można dodawać i mnożyć zgodnie z zwykłymi regułami operowania na wyrażeniach algebraicznych takich jak łączność, przemienność (w odpowiednim przypadku), rozdzielność i łączenie wyrazów podobnych z zachowaniem tożsamości $X^k X^l = X^{k+l}$ dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych $k, l.$ Działania dodawania i mnożenia dane explicite odpowiednio wzorami

$\left(\sum_{i = 0}^n a_i X^i\right) + \left(\sum_{i = 0}^n b_i X^i\right) = \sum_{i = 0}^n (a_i + b_i) X^i$

oraz

$\left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j = 0}^m b_j X^j\right) = \sum_{k = 0}^{m + n} \left(\sum_{i + j = k} a_i b_j\right)X^k.$

Ponieważ tylko skończenie wiele współczynników $a_i$ oraz $b_j$ jest niezerowych, to wszystkie sumy mają skończenie wiele wyrazów, przez co reprezentują one wielomiany z $R[X],$ co oznacza, że powyższe działania są poprawnie określone.

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej $X$ o współczynnikach z pierścienia $R$ tworzy wraz z wyżej zdefiniowanymi działaniami pierścień przemienny oznaczany symbolem $R[X]$ nazywany pierścieniem wielomianów zmiennej $X$ nad pierścieniem $R.$ Terminologia ma swoje źródło w ważnych przypadkach wielomianów o współczynnikach rzeczywistych czy zespolonych, które mogą być postrzegane jako rzeczywiste bądź zespolone funkcje wielomianowe. W ogólności jednak znak $X$ oraz jego potęgi $X^k$ traktuje się jako symbole formalne spoza pierścienia $R.$ O pierścieniu $R[X]$ można myśleć jako o pierścieniu powstałym z $R$ przez dodanie do niego nowego, zewnętrznego w stosunku do tego pierścienia, elementu $X$ oraz wszystkich jego potęg, co gwarantuje, że $R[X]$ będzie tworzyć pierścień; prowadzi to wprost do definicji wielomianów jako kombinacji liniowych potęg $X$ o współczynnikach z $R.$

Konstrukcja

Powyższe spojrzenie wyrosło na bazie klasycznej postaci wielomianów. Formalnie wielomian o współczynnikach z pierścienia $R$ definiuje się jako nieskończony ciąg jego elementów, w którym tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera.

Dla ciągów

$\mathrm p = (a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, 0, 0, \dots)$

oraz

$\mathrm q = (b_0, b_1, b_2, \dots, b_m, 0, 0, \dots)$

można określić działanie dodawania po składowych, mnożenie dane jest zaś za pomocą splotu, odpowiednio:

$\mathrm p + \mathrm q = (a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots),$

$\mathrm p \cdot \mathrm q = (a_0 b_0, a_0 b_1 + a_1 b_0, a_2 b_0 + a_1 b_1 + a_0 b_2, \dots)$

co czyni ze zbioru $R[X]$ wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad $R$ pierścień z jedynką nazywany pierścieniem wielomianów.

Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość ciągów z wyrażeniami formalnymi wynika z utożsamień

$(0, 0, 0, 0, \dots) = \mathrm 0,$

$(1, 0, 0, 0, \dots) = X^0 = \mathrm 1,$

$(0, 1, 0, 0, \dots) = X^1 = X,$

$(0, 0, 1, 0, \dots) = X^2$ itd.,

przy czym dwa pierwsze elementy są elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia.

Własności

• Jeżeli $R$ jest przemienny, to $R[X]$ również.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jedynką, to $R[x]$ również ją ma - jest to wielomian $(1, 0, 0, \dots)$.
• Jeżeli $R$ nie zawiera dzielników zera, to $R[X]$ również.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem całkowitym, to $R[X]$ również.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to $R[X]$ również (twierdzenie Gaussa).
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem noetherowskim, to $R[X]$ również (twierdzenie Hilberta o bazie).
• Jeżeli $R$ jest ciałem, to $R[X]$ jest pierścieniem euklidesowym.
• Pierścień $R[X]$ nie może być ciałem, gdyż element $X$ nie jest odwracalny.

Funkcja wielomianowa

Wartością wielomianu

$\mathrm p = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0 \in R[X]$

w punkcie $r \in R$ nazywa się element

$\mathrm p(r) = a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 \in R$.

Przyporządkowanie $p_r$ dane wzorem $\mathrm p \mapsto \mathrm p(r)$ nazywa się ewaluacją wielomianu $\mathrm p$ w punkcie $r.$ Pierwiastkami wielomianu $\mathrm p$ nazywa się wszystkie te elementy $r,$ dla których wartość wielomianu jest równa zeru.

Funkcją wielomianową nazywa się przekształcenie $p\colon R \to R$ dane wzorem $r \mapsto \mathrm p(r),$ które przyporządkowuje każdemu elementowi pierścienia $R$ jego wartość, co można zapisać wzorem

$p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,$

gdzie $x \in R.$

Przekształcenie przyporządkowujące każdemu wielomianowi $\mathrm p$ jego funkcję wielomianową $p$ oraz przekształcenie $p_r$ są homomorfizmami pierścieni. Jądro homomorfizmu $p_r$ stanowią wielomiany, dla których $r$ jest pierwiastkiem (z twierdzenia Bézouta - podzielne przez $X-r$).

W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie. Jednak w algebrze zwykle jest to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z₂ funkcje $x^2$ i $x$ są identyczne, gdyż $0^2 = 0$ oraz $1^2 = 1.$ W pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.

Pochodna wielomianu

Pochodną wielomianu określa się wzorem

$\left(\sum^n_{k=0} a_k X^k\right)' = \sum_{k = 1}^n k a_k X^{k-1}.$

W szczególności pochodną wielomianu stałego jest wielomian zerowy.

Definicja ta nie zależy od analitycznych własności pierścienia $R,$ tj. różniczkowanie wielomianów może być określone np. w pierścieniu klas reszt modulo n, gdzie branie granicy nie ma sensu. Tak określona pochodna ma następujące własności:

$(f + g)' = f' + g',$

$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'.$

Za pomocą indukcji matematycznej można określić $k$-tą pochodną wielomianu:

$\begin{cases} f^{(0)} & = f, \\ f^{(k)} & = (f^{(k-1)})'. \end{cases}$

Teoria podzielności

Wielomian $f \in R[X]$ nazywa się wielomianem nierozkładalnym w $R[X]$, gdy nie można przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów dodatniego stopnia.

Kryterium Eisensteina pozwala udowodnić nierozkładalność wielomianu o współczynnikach z pierścienia z jednoznacznością rozkładu.

Uogólnienia

Określone powyżej pojęcie wielomianu można uogólnić:

• na funkcje wymierne - ciało ułamków pierścienia całkowitego $R[X]$ oznacza się przez $R(X)$ i nazywa ciałem funkcji wymiernych;
• na większą liczbę zmiennych (patrz niżej);
• usuwając założenie o skończoności liczby wyrazów; tak określony pierścień nazywa się pierścieniem szeregów formalnych, oznaczany jest $R[\![X]\!].$

Wielomiany wielu zmiennych

Pierścień wielomianów $R[X][Y]$ nad pierścieniem wielomianów $R[X]$ nad pierścieniem $R$ nazywa się pierścieniem wielomianów zmiennych $X, Y$ nad pierścieniem $R$ i oznacza $R[X, Y]$. Używając indukcji matematycznej można określić pierścień wielomianów $n$ zmiennych wzorem

$P[X_1, X_2, \dots, X_n] = R[X_1, X_2, \dots, X_{n-1}][X_n]$.

Wielomian dwóch zmiennych można zapisać w postaci $\sum_{i,j=0}^n a_{ij} X^i Y^j$. Ogólniej, każdy wielomian $n$ zmiennych w postaci

$\sum_{(k_1, k_2, \dots, k_n) \in A}~a_{k_1, k_2, \dots, k_n} \prod_{i=1}^n X_i^{k_i}$,

gdzie $A \sub \mathbb{N}_0^n$ jest zbiorem skończonym.

Wielomiany symetryczne

Mając dany wielomian $\mathrm f \in R[X_1, X_2, \dots, X_n]$ można dokonać na nim permutacji zmiennych $\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ \pi_1 & \pi_2 & \dots & \pi_n \end{pmatrix}$ otrzymując nowy wielomian:

$\mathrm g(X_1, X_2, \dots, X_n) = \mathrm f(X_{\pi_1}, X_{\pi_2}, \dots, X_{\pi_n})$

Jeżeli wielomian nie zmienia się po tej operacji, to nazywa się go niezmienniczym względem permutacji $\pi$ lub też mówi się, że permutacja nie zmienia wielomianu $\mathrm f.$ Przykład: wielomian $x+y-z$ nie zmienia się po po zamianie zmiennych $x$ i $y$.

Można udowodnić, że zbiór wszystkich permutacji nie zmieniających wielomianu wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę, zwaną grupą symetrii wielomianu.

Wielomianem symetrycznym nazywa się wielomian, który nie zmienia się po dowolnej permutacji zmiennych; innymi słowy, jest to wielomian którego grupa symetrii jest równa $S_n$. Przykładem mogą być wielomiany

$X_1^2 + X_2^2 + X_3^2\;$

$X_1 X_2 X_3 + X_1 X_2 X_4 + X_1 X_3 X_4 + X_2 X_3 X_4\;$.

Wielomianami symetrycznymi podstawowymi $n$ zmiennych nazywa się wielomiany

$\mathrm p_1 = X_1 + X_2 + X_3 + \dots + X_n,$

$\mathrm p_2 = X_1 X_2 + x_1 X_3 + \dots + X_{n-1} X_n,$

$\dots$

$\mathrm p_n = X_1 X_2 \dots X_n.$

Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem o wielomianach symetrycznych, każdy wielomian symetryczny $n$ zmiennych można przedstawić w postaci złożenia wielomianu i wielomianów symetrycznych podstawowych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego $\mathrm f$ istnieje taki wielomian $\mathrm g,$ że:

$\mathrm f(X_1, X_2, \dots, X_n) = \mathrm g(\mathrm p_1, \mathrm p_2, \dots, \mathrm p_n)$

Takie przyporządkowanie jest izomorfizmem pierścienia wielomianów na pierścień wielomianów symetrycznych.

Zobacz też

• element algebraiczny
• wielomian Laurenta