Pierścień wielomianów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień wielomianów – w matematyce, a szczególnie w algebrze, pierścień określony na zbiorze wielomianów jednej lub więcej zmiennych o współczynnikach z ustalonego pierścienia. Pierścienie wielomianów stanowiły inspirację do rozwoju wielu działów matematyki, począwszy od twierdzenia Hilberta o bazie, przez konstrukcję ciał rozdzielczych, po rozumienie operatora liniowego. Wiele ważnych hipotez, takich jak hipoteza Serre'a, wpłynęło na badania nad innymi rodzajami pierścieni, a nawet było źródłem nowych definicji pierścieni, takich jak pierścienie grupowe, czy pierścienie szeregów formalnych.

Wielomiany jednej zmiennej[edytuj | edytuj kod]

Wielomiany[edytuj | edytuj kod]

Wprowadzenie do wielomianów jednej zmiennej można znaleźć w artykule o wielomianach.

Niech dany będzie dowolny pierścień z jedynką R oraz symbol X nazywany zmienną oraz jego potęgi, czyli symbole postaci X^k, gdzie k jest nieujemną liczbą całkowitą. Wielomianem zmiennej X nad R nazywa się wyrażenie postaci

\mathrm p = \sum_{k = 0}^n a_k X^k,

gdzie elementy a_k \in R nazywa się współczynnikami tego wielomianu.

Przyjmując zwyczajowo X^1 = X oraz X^0 = 1 powyższe można zapisać jako kombinację liniową

\mathrm p = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0.

Wyrażenia postaci a_k X^k nazywa się wyrazami, wyraz a_0 często określa się mianem wyrazu wolnego. Dowolny wyraz a_k X^k o zerowym współczynniku, a_k = 0, zwykle się pomija.

Dwa wielomiany uważa się za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie współczynniki przy każdej potędze X są sobie równe. Stopniem wielomianu nazywa się największe takie k, dla którego współczynnik przy X^k jest niezerowy. W przypadku wielomianu zerowego stopień jest niezdefiniowany lub, z racji pożądanych własności algebraicznych tego symbolu, przyjmuje się oznaczenie -\infty.

Pierścień wielomianów[edytuj | edytuj kod]

Sumy powyższej postaci można dodawać i mnożyć zgodnie z zwykłymi regułami operowania na wyrażeniach algebraicznych takich jak łączność, przemienność (w odpowiednim przypadku), rozdzielność i łączenie wyrazów podobnych z zachowaniem tożsamości X^k X^l = X^{k+l} dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych k, l. Działania dodawania i mnożenia dane explicite odpowiednio wzorami[1]

\left(\sum_{i = 0}^n a_i X^i\right) + \left(\sum_{i = 0}^n b_i X^i\right) = \sum_{i = 0}^n (a_i + b_i) X^i

oraz

\left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j = 0}^m b_j X^j\right) = \sum_{k = 0}^{m + n} \left(\sum_{i + j = k} a_i b_j\right)X^k.

Ponieważ tylko skończenie wiele współczynników a_i oraz b_j jest niezerowych, to wszystkie sumy mają skończenie wiele wyrazów, przez co reprezentują one wielomiany z R[X], co oznacza, że powyższe działania są poprawnie określone.

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej X o współczynnikach z pierścienia R tworzy wraz z wyżej zdefiniowanymi działaniami pierścień przemienny oznaczany symbolem R[X] nazywany pierścieniem wielomianów zmiennej X nad pierścieniem R. Terminologia ma swoje źródło w ważnych przypadkach wielomianów o współczynnikach rzeczywistych czy zespolonych, które mogą być postrzegane jako rzeczywiste bądź zespolone funkcje wielomianowe. W ogólności jednak znak X oraz jego potęgi X^k traktuje się jako symbole formalne spoza pierścienia R. O pierścieniu R[X] można myśleć jako o pierścieniu powstałym z R przez dodanie do niego nowego, zewnętrznego w stosunku do tego pierścienia, elementu X oraz wszystkich jego potęg, co gwarantuje, że R[X] będzie tworzyć pierścień; prowadzi to wprost do definicji wielomianów jako kombinacji liniowych potęg X o współczynnikach z R.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Powyższe spojrzenie wyrosło na bazie klasycznej postaci wielomianów. Formalnie wielomian o współczynnikach z pierścienia R definiuje się jako nieskończony ciąg jego elementów, w którym tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera.

Dla ciągów

\mathrm p = (a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, 0, 0, \dots)

oraz

\mathrm q = (b_0, b_1, b_2, \dots, b_m, 0, 0, \dots)

można określić działanie dodawania po składowych, mnożenie dane jest zaś za pomocą splotu, odpowiednio:

\mathrm p + \mathrm q = (a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots),
\mathrm p \cdot \mathrm q = (a_0 b_0, a_0 b_1 + a_1 b_0, a_2 b_0 + a_1 b_1 + a_0 b_2, \dots)

co czyni ze zbioru R[X] wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad R pierścień z jedynką nazywany pierścieniem wielomianów.

Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość ciągów z wyrażeniami formalnymi wynika z utożsamień

(0, 0, 0, 0, \dots) = \mathrm 0,
(1, 0, 0, 0, \dots) = X^0 = \mathrm 1,
(0, 1, 0, 0, \dots) = X^1 = X,
(0, 0, 1, 0, \dots) = X^2 itd.,

przy czym dwa pierwsze elementy są elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Funkcja wielomianowa[edytuj | edytuj kod]

Wartością wielomianu

\mathrm p = a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0 \in R[X]

w punkcie r \in R nazywa się element

\mathrm p(r) = a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 \in R.

Przyporządkowanie p_r dane wzorem \mathrm p \mapsto \mathrm p(r) nazywa się ewaluacją wielomianu \mathrm p w punkcie r. Pierwiastkami wielomianu \mathrm p nazywa się wszystkie te elementy r, dla których wartość wielomianu jest równa zeru.

Funkcją wielomianową nazywa się przekształcenie p\colon R \to R dane wzorem r \mapsto \mathrm p(r), które przyporządkowuje każdemu elementowi pierścienia R jego wartość, co można zapisać wzorem

p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,

gdzie x \in R.

Przekształcenie przyporządkowujące każdemu wielomianowi \mathrm p jego funkcję wielomianową p oraz przekształcenie p_rhomomorfizmami pierścieni. Jądro homomorfizmu p_r stanowią wielomiany, dla których r jest pierwiastkiem (z twierdzenia Bézouta - podzielne przez X-r).

W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie. Jednak w algebrze zwykle jest to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z2 funkcje x^2 i x są identyczne, gdyż 0^2 = 0 oraz 1^2 = 1. W pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.

Pochodna wielomianu[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: pochodna wielomianu.

Pochodną wielomianu określa się wzorem

\left(\sum^n_{k=0} a_k X^k\right)' = \sum_{k = 1}^n k a_k X^{k-1}.

W szczególności pochodną wielomianu stałego jest wielomian zerowy.

Definicja ta nie zależy od analitycznych własności pierścienia R, tj. różniczkowanie wielomianów może być określone np. w pierścieniu klas reszt modulo n, gdzie branie granicy nie ma sensu. Tak określona pochodna ma następujące własności:

(f + g)' = f' + g',
(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'.

Za pomocą indukcji matematycznej można określić k-tą pochodną wielomianu:

\begin{cases} f^{(0)} & = f, \\ f^{(k)} & = (f^{(k-1)})'. \end{cases}

Teoria podzielności[edytuj | edytuj kod]

Wielomian f \in R[X] nazywa się wielomianem nierozkładalnym w R[X], gdy nie można przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów dodatniego stopnia.

Kryterium Eisensteina pozwala udowodnić nierozkładalność wielomianu o współczynnikach z pierścienia z jednoznacznością rozkładu.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Określone powyżej pojęcie wielomianu można uogólnić:

  • na funkcje wymierne - ciało ułamków pierścienia całkowitego R[X] oznacza się przez R(X) i nazywa ciałem funkcji wymiernych;
  • na większą liczbę zmiennych (patrz niżej);
  • usuwając założenie o skończoności liczby wyrazów; tak określony pierścień nazywa się pierścieniem szeregów formalnych, oznaczany jest R[\![X]\!].

Wielomiany wielu zmiennych[edytuj | edytuj kod]

Pierścień wielomianów R[X][Y] nad pierścieniem wielomianów R[X] nad pierścieniem R nazywa się pierścieniem wielomianów zmiennych X, Y nad pierścieniem R i oznacza R[X, Y]. Używając indukcji matematycznej można określić pierścień wielomianów n zmiennych[2] wzorem

P[X_1, X_2, \dots, X_n] = R[X_1, X_2, \dots, X_{n-1}][X_n].

Wielomian dwóch zmiennych można zapisać w postaci \sum_{i,j=0}^n a_{ij} X^i Y^j. Ogólniej, każdy wielomian n zmiennych w postaci

\sum_{(k_1, k_2, \dots, k_n) \in A}~a_{k_1, k_2, \dots, k_n} \prod_{i=1}^n X_i^{k_i},

gdzie A \sub \mathbb{N}_0^n jest zbiorem skończonym.

Wielomiany symetryczne[edytuj | edytuj kod]

Mając dany wielomian \mathrm f \in R[X_1, X_2, \dots, X_n] można dokonać na nim permutacji zmiennych \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ \pi_1 & \pi_2 & \dots & \pi_n \end{pmatrix} otrzymując nowy wielomian:

\mathrm g(X_1, X_2, \dots, X_n) = \mathrm f(X_{\pi_1}, X_{\pi_2}, \dots, X_{\pi_n})

Jeżeli wielomian nie zmienia się po tej operacji, to nazywa się go niezmienniczym względem permutacji \pi lub też mówi się, że permutacja nie zmienia wielomianu \mathrm f. Przykład: wielomian x+y-z nie zmienia się po po zamianie zmiennych x i y.

Można udowodnić, że zbiór wszystkich permutacji nie zmieniających wielomianu wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę, zwaną grupą symetrii wielomianu.

Wielomianem symetrycznym nazywa się wielomian, który nie zmienia się po dowolnej permutacji zmiennych; innymi słowy, jest to wielomian którego grupa symetrii jest równa S_n. Przykładem mogą być wielomiany

X_1^2 + X_2^2 + X_3^2\;
X_1 X_2 X_3 + X_1 X_2 X_4 + X_1 X_3 X_4 + X_2 X_3 X_4\;.

Wielomianami symetrycznymi podstawowymi n zmiennych nazywa się wielomiany

\mathrm p_1 = X_1 + X_2 + X_3 + \dots + X_n,
\mathrm p_2 = X_1 X_2 + X_1 X_3 + \dots + X_{n-1} X_n,
\dots
\mathrm p_n = X_1 X_2 \dots X_n.

Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem o wielomianach symetrycznych, każdy wielomian symetryczny n zmiennych można przedstawić w postaci złożenia wielomianu i wielomianów symetrycznych podstawowych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego \mathrm f istnieje taki wielomian \mathrm g, że:

\mathrm f(X_1, X_2, \dots, X_n) = \mathrm g(\mathrm p_1, \mathrm p_2, \dots, \mathrm p_n)

Takie przyporządkowanie jest izomorfizmem pierścienia wielomianów na pierścień wielomianów symetrycznych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Przy czym w pierwszym przypadku dopisuje się „ślepe” wyrazy o zerowych współczynnikach, aby zagwarantować formalnie ten sam zbiór potęg w obu składnikach; w drugim przypadku sumowanie wewnętrzne po prawej stronie odbywa się wyłącznie po wskaźnikach z zakresu, tzn. \scriptstyle 0 \leqslant i \leqslant m oraz \scriptstyle 0 \leqslant j \leqslant n; uniknięcie tych problemów jest możliwe poprzez przyjęcie wzorów \scriptstyle\left(\sum_i a_i X^i\right) + \left(\sum_i b_i X^i\right) = \sum_i (a_i + b_i) X^i oraz \scriptstyle \left(\sum_i a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_j b_j X^j\right) = \sum_k \left(\sum_{i, j\colon i + j = k} a_i b_j\right)X^k.
  2. Możliwe jest także zdefiniowanie pierścienia wielomianów nieskończonej liczbie zmiennych.