Pierścień z dzieleniem

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pierścień z dzieleniemstruktura algebraiczna spełniająca wszystkie aksjomaty ciała z wyjątkiem aksjomatu przemienności mnożenia. Każde ciało jest więc pierścieniem z dzieleniem. Mimo że iloczyn w niżej opisanych pierścieniach i algebrach jest łączny, rozważa się także niełączne algebry z dzieleniem, np. algebrę oktonionów.

Nazwa[edytuj | edytuj kod]

Historycznie pierwszym przykładem pierścienia z dzieleniem niebędącego ciałem były kwaterniony odkryte w 1853 roku przez Hamiltona. Ze względu na podobieństwo definicji strukturę tę nazywano niegdyś ciałem nieprzemiennym[1], ponieważ samo ciało definiowane jest jako przemienne[2], pojęcie to nie zadomowiło się w języku matematycznym. Innym pomysłem było uogólnienie definicji ciała poprzez rezygnację z jego przemienności i nazywanie ciałem przemiennym tego, co określane jest dzisiaj terminem „ciało”[3], lecz ten pomysł również się nie przyjął. Z kolei pojęcie pierścienia z dzieleniem jest używane we współczesnej literaturze matematycznej[4], dlatego niepolecane jest stosowanie kalek z języków angielskiego i niemieckiego takich jak „ciało skośne” (od ang. skew field oraz niem. Schiefkörper).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Nietrywialny pierścień R nazywamy pierścieniem z dzieleniem, gdy każdy niezerowy element a \in R ma element odwrotny ze względu na mnożenie, tzn.

\forall_{a \in R\setminus \{ 0\} }\; \exists_{b \in G}\; a \cdot b = b \cdot a = 1.

Innymi słowy, pierścień R jest pierścieniem z dzieleniem wtedy i tylko wtedy, gdy \operatorname{U}(R) = R \setminus \{0\}, tj. grupa elementów odwracalnych składa się z wszystkich niezerowych elementów.

Pierścień z dzieleniem jest zatem strukturą algebraiczną (R, +, \cdot, 0, 1) taką, że:

  • (R, +, 0) jest grupą przemienną,
  • (R\setminus\{0\}, \cdot, 1) jest grupą (przemienną lub nie),
  • \forall_{a,b,c \in R}\; (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c),
  • \forall_{a,b,c \in R}\; a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c),
  • 1 \ne 0 (ten aksjomat jest czasem pomijany, gdyż wynika z pozostałych, jeżeli zbiór R ma więcej niż jeden element).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Można określić sporą część algebry liniowej opartej na modułach nad pierścieniami z dzieleniem zamiast na przestrzeniach liniowych nad ciałami i nadal pozostaje ona spójna oraz niesprzeczna. Każdy moduł nad pierścieniem z dzieleniem ma bazę, przekształcenia liniowe między skończeniewymiarowymi modułami nad pierścieniami z dzieleniem mogą być opisywane za pomocą macierzy i można stosować algorytm eliminacji Gaussa.

Centrum pierścienia z dzieleniem jest przemienne, zatem jest ciałem. Każdy pierścień z dzieleniem jest więc algebrą z dzieleniem nad swoim centrum. Pierścienie z dzieleniem mogą być ogólnie klasyfikowane według tego, czy są skończenie- czy też nieskończeniewymiarowe nad swoim centrami. W pierwszym przypadku nazywa się je centralnie skończonymi, w drugim centralnie nieskończonymi. Każde ciało jest oczywiście jednowymiarowe nad swoim centrum.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Dowolne ciało jest pierścieniem z dzieleniem, w którym mnożenie jest przemienne.
  • Kwaterniony \mathbb H (uogólnienie liczb zespolonych) są nieprzemiennym pierścieniem z dzieleniem. Pierścień kwaternionów jest czterowymiarową algebrą nad swoim centrum, które jest izomorficzne z liczbami rzeczywistymi.
  • Jeśli zamiast liczb rzeczywistych użyjemy do konstrukcji kwaternionów liczb wymiernych otrzymamy jeszcze inny przykład pierścienia z dzieleniem.
  • Ogólnie, jeżeli S jest modułem prostym nad pierścieniem R, to pierścień endomorfizmów S jest pierścieniem z dzieleniem; co więcej: dowolny pierścień z dzieleniem jest określony w ten sposób nad pewnym modułem prostym.

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie (małe) Wedderburna 
Wszystkie skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne, zatem są ciałami skończonymi (istnieje prosty dowód dany przez Ernsta Witta).
Twierdzenie Frobeniusa 
Każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. G. Birkhoff, S. Mac Lane Przegląd algebry współczesnej, PWN 1966, tł. A. Ehrenfeucht, A. Wł. Mostowski, VIII§10 (str. 256): „Twierdzenie 20. Kwaterniony tworzą ciało nieprzemienne”. Dzisiaj na niekorzyść stosowanej w tym podręczniku terminologii przemawia użycie archaiczne stosowanie pojęć, np. użycie terminu „struktura” w znaczeniu „krata”.
  2. Już w najstarszych podręcznikach, np. W. Sierpiński Zasady algebry, PWN 1946, napisany jeszcze przed wojną; A. Mostowski, M. Stark Algebra wyższa, t. 1-3 PWN 1953-1954, nie omawia się tam nawet pierścieni nieprzemiennych
  3. A. G. Kurosz, Algebra ogólna, PWN 1965, rozdz. II2.10., tł. polskie W. Holsztyńskiego, który próbował rozwiązać opozycję tielopolie (pierścień z dzieleniem – ciało) obecną w rosyjskiej terminologii matematycznej.
  4. A. Białynicki-Birula Zarys algebry, PWN 1987, I§14, str. 56-57

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]