Pierścień z dzieleniem

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień z dzieleniem[1] – w algebrze łączny pierścień z jedynką, w którym każdy element jest odwracalny względem mnożenia[2]. Zwykle pod nazwą „pierścień z dzieleniem” rozumie się pierścień łączny, choć rozważa się także niełączne algebry z dzieleniem, np. oktoniony.

Od ciałastrukturę odróżnia jedynie brak aksjomatu przemienności mnożenia, z tego powodu nazywano ją niegdyś „ciałem nieprzemiennym”[3][4]. Proponowano również wykorzystanie terminu „ciało” jako nazwy pierścieni z dzieleniem, podczas gdy współcześnie rozumiane ciała nazywano „ciałami przemiennymi”, jednak ten pomysł również się nie przyjął[5].

Charakteryzacja[edytuj | edytuj kod]

Nietrywialny pierścień (łączny) z jedynką \scriptstyle R nazywa się pierścieniem z dzieleniem, jeżeli każdy jego niezerowy element \scriptstyle a \in R ma element odwrotny ze względu na mnożenie, tzn.

\forall_{a \in R \setminus \{0\} }\; \exists_{b \in R}\; a \cdot b = b \cdot a = 1.

Innymi słowy, pierścień \scriptstyle R jest pierścieniem z dzieleniem wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle \operatorname{U}(R) = R \setminus \{0\}, tj. grupa jego elementów odwracalnych składa się z wszystkich niezerowych elementów.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Algebra liniowa oparta nie na przestrzeniach liniowych nad ciałami, a na modułach nad pierścieniami z dzieleniem pozostaje w dużej mierze użyteczna: każdy taki moduł jest wolny (ma bazę), a przekształcenia liniowe między nimi można reprezentować za pomocą macierzy (zob. macierz przekształcenia liniowego), ponadto poprawny jest algorytm eliminacji Gaussa.

Ponieważ centrum pierścienia z dzieleniem jest przemienne, zatem jest ciałem; wynika stąd, że każdy pierścień z dzieleniem jest algebrą z dzieleniem nad swoim centrum. Wspomniana algebra jest w szczególności przestrzenią liniową – jeżeli jest ona skończeniewymiarowa, to pierścień z dzieleniem nazywa się centralnie skończonym, w przeciwnym przypadku nazywa się go centralnie nieskończonymi. Każde ciało jest centralnie skończone (jako trywialnie jednowymiarowe nad swoim centrum).

Tzw. małe twierdzenie Wedderburna mówi, że wszystkie skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne (a więc są ciałami skończonymi); z kolei twierdzenie Frobeniusa o algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych zapewnia, iż każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Historycznie pierwszym przykładem pierścienia z dzieleniem niebędącego ciałem były kwaterniony odkryte w 1853 roku przez Williama Hamiltona; tworzą one czterowymiarową algebrę z dzieleniem nad swoim centrum (które jest izomorficzne z liczbami rzeczywistymi. Zastąpienie liczb rzeczywistych przy konstrukcji kwaternionów innym ciałem (np. liczbami wymiernymi) daje kolejne przykłady. Ogólnie, dla danego modułu prostego nad ustalonym pierścieniem, jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem; co więcej: dowolny pierścień z dzieleniem jest określony w ten sposób nad pewnym modułem prostym.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Spotykana sporadycznie nazwa „ciało skośne” (od ang. skew field oraz niem. Schiefkörper) jest niepoprawną kalką.
  2. A. Białynicki-Birula Zarys algebry, PWN 1987, I§14, str. 56-57
  3. G. Birkhoff, S. Mac Lane Przegląd algebry współczesnej, PWN 1966, tł. A. Ehrenfeucht, A. Wł. Mostowski, VIII§10 (str. 256): „Twierdzenie 20. Kwaterniony tworzą ciało nieprzemienne”. Dzisiaj na niekorzyść stosowanej w tym podręczniku terminologii przemawia użycie archaiczne stosowanie pojęć, np. użycie terminu „struktura” w znaczeniu „krata”.
  4. Już w najstarszych podręcznikach, np. W. Sierpiński Zasady algebry, PWN 1946, napisany jeszcze przed wojną; A. Mostowski, M. Stark Algebra wyższa, t. 1-3 PWN 1953-1954, definicja ciała zawierała aksjomat przemienności; w podręczniku tym autor porusza jednak w ogóle tematyki pierścieni nieprzemiennych.
  5. A. G. Kurosz, Algebra ogólna, PWN 1965, rozdz. II2.10., w tł. W. Holsztyńskiego, który próbował rozwiązać opozycję tielopolie (pierścień z dzieleniem – ciało) obecną w rosyjskiej terminologii matematycznej.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]