Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynką – pierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

Jedynka pierścienia $R$ oznaczana jako $1$ spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać

$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ dla każdego elementu $a$ pierścienia $R$.

Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to $1 \ne 0$. Jeśli $f\colon R \to S$ jest homomorfizmem pierścieni i $1$ jest jedynką pierścienia $R$, to $f(1)$ jest jedynką pierścienia $S$. W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

Dołączanie jedynki do pierścienia

Dowolny pierścień $R$ można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim $\mathbb{Z} \times R$ zdefiniować dwa działania:

$(n_1, r_1) + (n_2, r_2) = (n_1 + n_2, r_1 + r_2)\;$,

$(n_1, r_1) \cdot (n_2, r_2) = (n_1 n_2, n_1 r_2 + n_2 r_1 + r_1 r_2)$.

Łatwo sprawdzić, że struktura $\hat R=\mathbb{Z} \times R$ z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz, że para $(1, 0)$ jest jego jedynką.

Łatwo również zauważyć, że zbiór

$\{(0,r)\colon\, r\in R\}$

jest podpierścieniem pierścienia $\hat R$ izomorficznym z $R$. Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie $R$ w $\hat R$. Pierścień $R$ jest przy tym ideałem pierścienia $\hat R$.

Jeśli oznaczyć $(1, 0)$ jako $1$, to $(n, r)$ gdzie $n \in \mathbb{Z}$ oraz $r \in R$, można zapisać w postaci $n \cdot 1 + r$.

Zobacz też

• pierścień Boole'a
• półpierścień
• moduł