Pierścień z jedynką

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pierścień z jedynkąpierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

Jedynka pierścienia R oznaczana jako 1 spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać

 a \cdot 1 = 1 \cdot a = a dla każdego elementu a pierścienia R.

Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to 1 \ne 0. Jeśli f\colon R \to S jest homomorfizmem pierścieni i 1 jest jedynką pierścienia R, to f(1) jest jedynką pierścienia S. W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

Dołączanie jedynki do pierścienia[edytuj | edytuj kod]

Dowolny pierścień R można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim \mathbb{Z} \times R zdefiniować dwa działania:

(n_1, r_1) + (n_2, r_2) = (n_1 + n_2, r_1 + r_2)\;,
(n_1, r_1) \cdot (n_2, r_2) = (n_1 n_2, n_1 r_2 + n_2 r_1 + r_1 r_2).

Łatwo sprawdzić, że struktura \hat R=\mathbb{Z} \times R z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz, że para (1, 0) jest jego jedynką.

Łatwo również zauważyć, że zbiór

\{(0,r)\colon\, r\in R\}

jest podpierścieniem pierścienia \hat R izomorficznym z R. Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie R w \hat R. Pierścień R jest przy tym ideałem pierścienia \hat R.

Jeśli oznaczyć (1, 0) jako 1, to (n, r) gdzie n \in \mathbb{Z} oraz r \in R, można zapisać w postaci n \cdot 1 + r.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]