Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Pierwiastki są szczególnie istotne w teorii szeregów, gdzie kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe) służy wyznaczaniu promienia zbieżności szeregu potęgowego. Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych; warto nadmienić, iż pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do znanego twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Historia

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła^{[potrzebne źródło]} podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421-1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa Jadhir (gdzie „dh” oznacza międzyzębową dźwięczną spółgłoskę szczelinową) oznaczającego „korzeń”.

Wielu, w tym Leonhard Euler wierzy, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix, które oznacza to samo działanie matematyczne. Symbolu użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa.

Termin surd pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie assam („głuchy, głupi”) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych.

Definicja

Niech dana będzie dodatnia liczba całkowita $n$ nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby $x$ stopnia $n$ nazywa się taką liczbę $r,$ która podniesiona do n-tej potęgi jest równa $x;$ innymi słowy jest to dowolna liczba $r$ spełniająca równość

$r^n = x.$

Innymi słowy, pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x$ jest pierwiastkiem wielomianu $r^n - x$ zmiennej $r$.

Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest $0.$ W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.

Dla nieparzystych $n$ każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych $n.$

Pierwiastek stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym, zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu $\sqrt{\ },$ pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby $x$ odpowiadają kolejno symbole $\sqrt x, \sqrt[3]x, \sqrt[4]x$ itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.

Przykłady i własności

Liczba $2$ jest pierwiastkiem czwartego stopnia z $16,$ gdyż $2^4 = 16.$ Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest $-2;$ istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby, które wraz z $2$ oraz $-2$ są pierwiastkami algebraicznymi 4-tego stopnia z $16.$

Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być liczba $-2,$ która ma rzeczywisty pierwiastek piątego stopnia, $\sqrt[5]{-2} = -1{,}148698354\dots,$ lecz nie ma żadnych rzeczywistych pierwiastków szóstego stopnia.

Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną; przykładem liczby naturalnej, której pierwiastek jest niewymierny jest 2:

$\sqrt{2} = 1{,}414213562\dots$

Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do dowolnej potęgi jest wymierna. Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych, są algebraiczne.

Jeżeli $x, y$ są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś $n, m$ są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

• $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n] x \sqrt[n] y,$
• $\sqrt[n]{x/y} = \frac{\sqrt[n] x}{\sqrt[n] y}$ dla $y \ne 0.$

W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku ułamkowym, tzn.

$\sqrt[n] x = x^{1/n},$

stąd prawdziwe są również następujące równości:

• $\sqrt[n] {x^m} = \left(\sqrt[n] x\right)^m = \left(x^{1/n}\right)^m = x^{m/n}.$

Ze wzorów skróconego mnożenia wynikają wzory:

• $\sqrt x + \sqrt y = \sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}},$
• $\left|\sqrt x - \sqrt y\right| = \sqrt{x + y - 2\sqrt{xy}},$
• $\sqrt[3] a + \sqrt[3] b = \frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}.$

Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu:

$(1 + x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s - kt)}{n!t^n} x^n,$

o ile $|x| < 1.$ Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumianowego.

Pierwiastek zespolony

Dla dodatniej liczby całkowitej $n$ pierwiastkiem stopnia $n$ z liczby zespolonej $x$ nazywa się dowolną liczbę $r$ spełniającą równość

$r^n = x.$

Każda niezerowa liczba zespolona (a więc i rzeczywista) $x$ ma $n$ różnych zespolonych pierwiastków n-tego stopnia; szczególnie istotne są szeroko stosowane w matematyce pierwiastki z jedynki.

Pierwiastki z liczby zespolonej $z$ można wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:

$z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\psi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\psi + 2k\pi}{n}\right)$,

dla $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ (powyższy symbol pierwiastka oznacza pierwiastek arytmetyczny).

Przykładowo dla liczby $z = -4$ jest $|z| = 4,$ a ponadto $\operatorname{Arg}\; z = \pi,$, a więc w postaci biegunowej ma ona postać $z = 4 (\cos \pi + i\sin \pi).$

Pierwiastkami drugiego stopnia z $z$ są:

$z_0 = 2 \left(\cos \tfrac{\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi}{2}\right) = 2i,$

$z_1 = 2 \left(\cos \tfrac{-\pi}{2} + i\sin \tfrac{-\pi}{2}\right) = -2i.$

Typografia

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka. W notacji angielskiej znak pierwiastka występuje bez wiążącej kreski górnej.

Znak	Nazwa polska	Unikod	Nazwa unikodowa	ASCII	URL	HTML (inne)
√	pierwiastek kwadratowy	U+221A	SQUARE ROOT	√	%E2%88%9A	√
∛	pierwiastek sześcienny	U+221B	CUBE ROOT	∛	%E2%88%9B
∜	pierwiastek czwartego stopnia	U+221C	FOURTH ROOT	∜	%E2%88%9C
‾	kreska wiążąca górna	U+203E	OVERLINE
‾	kreska wiążąca górna dostawna	U+0305	COMBINING OVERLINE

W LaTeX-u:

• pierwiastek $\sqrt x$ zapisywany jest jako \sqrt x;
• pierwiastek $\sqrt[k] x$ zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz też

• algorytm obliczania pierwiastka n-tego stopnia
• pierwiastek dwunastego stopnia z dwóch