Połączenie Levi-Civita

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W geometrii riemannowskiej, połączenie (spójność, koneksja) Levi-Civita to specyficzne połączenie na wiązce stycznej rozmaitości. Precyzyjniej, to nieskręcone (torsion-free) połączenie metryczne, w szczególności nieskręcone połączenie na wiązce stycznej (połączenie afiniczne) zachowujące zadaną (pseudo-)Riemannowską metrykę.

Podstawowa teoria geometrii Riemanna postuluje, że istnieje unikalne połączenie spełniające te właściwości.

W teorii rozmaitości Riemanna oraz pseudo-rozmaitości pojęcie pochodna kowariantna jest często używane w odniesieniu do połączenia Levi-Civita. Składowe tego połączenia w odniesieniu do lokalnego układu współrzędnych nazywane są symbolami Christoffela.


Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że (M,g), będzie rozmaitością riemannowską (lub pseudo-riemannowską). Wtedy połączenie afiniczne ∇ jest nazywane połączeniem Levi-Civita gdy:

1. zachowuje metrykę, w szczególności - ∇ g = 0.
2. nie jest skręcone (torsion-free), tj. dla każdego pola wektorowego X i Y otrzymujemy ∇XY - ∇YX = [X,Y], gdzie [X,Y] to Nawias Liego pól wektorowych X oraz Y.

Powyższy warunek 1 jest czasami nazywany jako kompatybilność z metryką, a warunek 2 nazywany symetrią.

Zakładając istnienie połączenia Levi-Civita, to jest ono unikalnie określone. Używając warunku 1 oraz symetrii tensora metrycznego g otrzymujemy:

 X (g(Y,Z)) + Y (g(Z,X))- Z (g(Y,X)) = g(\nabla_X Y + \nabla_Y X, Z) + g(\nabla_X Z - \nabla_Z X, Y) + g(\nabla_Y Z - \nabla_Z Y, X).

Z warunku 2 lewa strona równania jest równa:

 2g(\nabla_X Y, Z) - g([X,Y], Z) + g([X,Z],Y) + g([Y,Z],X)

więc otrzymujemy:

g(\nabla_X Y, Z) =  \frac{1}{2} \{ X (g(Y,Z)) + Y (g(Z,X)) - Z (g(X,Y)) + g([X,Y],Z) - g([Y,Z], X) - g([X,Z], Y) \}.

Ponieważ Z jest bezwzględne, to determinuje \nabla_X Y. Odwrotnie, używając ostatniej linii jako definicji pokazano, że wyrażenie tak zdefiniowane jest połączeniem kompatybilnym z metryką, tj. jest połączeniem Levi-Civita.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Kobayashi: Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons, 1963. ISBN 0470496479.