Pochodna Diniego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pochodne Diniego – w matematyce, a szczególnie analizie rzeczywistej, klasa uogólnień zwykłej pochodnej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Górna pochodna Diniego, nazywana też górną pochodną prawostronną[1], funkcji ciągłej f\colon \mathbb R \to\mathbb R oznaczana symbolem f'_+ jest zdefiniowana jako

f'_+(t) := \limsup_{h \to 0_+} \frac{f(t + h) - f(t)}{h},

gdzie \limsup oznacza granicę górną. Dolna pochodna Diniego, oznaczana f'_-, jest zdefiniowana wzorem

f'_-(t) := \liminf_{h \to 0_+} \frac{f(t + h) - f(t)}{h},

gdzie \liminf jest granicą dolną.

Jeżeli f jest określona na przestrzeni liniowej, to górną pochodną Diniego w punkcie t w kierunku d definiuje się wzorem

f'_+(t, d) := \limsup_{h \to 0_+} \frac{f(t + hd) - f(t)}{h}.

Jeżeli f jest lokalnie lipschitzowska, to f'_+ jest skończona. Jeśli f jest różniczkowalna w t, to pochodna Diniego w t pokrywa się ze zwykłą pochodną w tym punkcie.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Czasem, zamiast f'_+(t),\; f'_-(t) stosuje się odpowiednio zapisy \operatorname D^+ f(t),\; \operatorname D_-f(t)[1]. Ponadto

\operatorname D^- f(t) := \limsup_{h \to 0_-} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}

oraz

\operatorname D_- f(t) := \liminf_{h \to 0_-} \frac{f(t + h) - f(t)}{h}.

W ten sposób w notacji z \operatorname D znak (minus/plus) mówi o tym, czy brana jest granica lewo-, czy prawostronna, zaś jego położenie mówi o jej rodzaju (dolna/górna). Każda z pochodnych Diniego zawsze istnieje w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych; mogą jednak czasem przyjmować wartości +\infty lub -\infty (tzn. pochodne Diniego zawsze istnieją w sensie rozszerzonym).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • T. P. Lukashenko: Dini derivative (ang.). 2001.
  • H. L. Royden: Real analysis. Wyd. II. MacMillan, 1968. ISBN 0-02-40150-5.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 H.K. Khalil: Nonlinear Systems. Wyd. III. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2002. ISBN 0-13-067389-7.

Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Pochodna Diniego na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.