Pochodna Frécheta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pochodna Frécheta – uogólnienie pojęcia pochodnej dla funkcji między przestrzeniami unormowanymi (w szczególności między przestrzeniami Banacha) nad tym samym ciałem. Pojęcie pochodnej w sensie Frécheta pozwala formalnie zdefiniować pojęcie pochodnej funkcjonalnej, które jest szeroko wykorzystywana w rachunku wariacyjnym. Intuicyjnie, definicja pochodnej Frécheta oparta jest na idei aproksymacji liniowej, to znaczy przybliżania różniczkowanej funkcji przy pomocy prostszego przekształcenia liniowego. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Maurice'a Frécheta.

W analizie funkcjonalnej spotyka się również inną nazwę tego pojęcia – silna pochodna – będącej antonimem innej nazwy pochodnej Gâteaux, tzw. słabej pochodnej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech V i W będą przestrzeniami unormowanymi, U będzie niepustym podzbiorem otwartym przestrzeni V. Funkcję f\colon U \to W nazywa się różniczkowalną w sensie Frécheta w punkcie x \in U, jeżeli istnieje taki ograniczony operator liniowy

\operatorname A_x\colon V \to W,

że

\lim_{h \to 0} \frac{\bigl\|f(x + h) - f(x) - \operatorname A_x(h)\bigr\|_W}{\|h\|_V} = 0.

W przypadku, gdy funkcja f jest różniczkowalna w danym punkcie, to operator liniowy \operatorname A_x spełniający powyższy warunek jest wyznaczony jednoznacznie nazywa się różniczką Frécheta funkcji f w punkcie x i oznacza \mathrm Df(x). Odwzorowanie \mathrm Df\colon V \to L(V, W) dane wzorem x \mapsto \mathrm Df(x) we wszystkich punktach x, w których f jest różniczkowalna, nazywa się pochodną Frécheta funkcji f, gdzie L(V, W) oznacza przestrzeń funkcyjną wszystkich ograniczonych operatorów liniowych V \to W.

Równoważnie, funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ograniczony operator liniowy \operatorname A_x\colon V \to W oraz funkcja r_f(x, \cdot)\colon\ U\setminus\{x\} \to Y, dla których

f(x + h) - f(x) = \operatorname A_x(h) + r_f(x, h),

oraz

\lim_{h\to 0}\frac{r_f(x, h)}{\|h\|_V} = 0.

Funkcję f różniczkowalną w sensie Frécheta w dowolnym punkcie zbioru U i której pochodna \operatorname Df(x) jest funkcją ciągłą w każdym punkcie zbioru U nazywa się funkcją różniczkowalną w sposób ciągły bądź funkcją klasy \operatorname C^1. Jeśli f jest funkcjonałem, to różniczkę \operatorname A_x będącą funkcjonałem liniowym nazywa się czasem wariacją f w punkcie x i oznacza symbolem \delta f.

Otwartość dziedziny a różniczkowalność[edytuj | edytuj kod]

Założenie otwartości zbioru U w definicji jest konieczne ze względu na wymaganie jednoznaczności definicji różniczki. Istotność tego założenia można zobrazować następująco: zbiór

V = \bigl\{(x, y) \in \mathbb R^2\colon x = y\}

jest domkniętym podzbiorem przestrzeni \mathbb R^2. Gdyby funkcja f, określona na płaszczyźnie, dana wzorem

f(x, y) = x + y.

była różniczkowalna punkcie (x, y), to wówczas

f(x + h, y + k) - f(x, y) \approx \tfrac{\partial f}{\partial x} h + \tfrac{\partial f}{\partial y} k = h + k.

Punkty (x + h, y + k) i (x, y) należą do zbioru V tylko, gdy h = k, co pociąga za sobą, iż pochodna f w punkcie (x, y) jest postaci [1 + a, 1 - a], gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Funkcja różniczkowalna w danym punkcie jest w nim ciągła. Implikacja odwrotna na ogół nie zachodzi.

Różniczkowanie jest operacją liniową w następującym sensie: jeśli f i g są dwoma przekształceniami V \to W różniczkowalnymi w x, zaś \sigma i \tau są skalarami (dwiema liczbami rzeczywistymi bądź zespolonymi), to ich kombinacja liniowa \sigma f + \tau g jest różniczkowalna w x, przy czym jest ona równa odpowiedniej kombinacji liniowej pochodnych:

\operatorname D(\sigma f + \tau g)(x) = \sigma \operatorname Df(x) + \tau \operatorname Dg(x).

W kontekście tym poprawna jest również reguła łańcuchowa zwana również twierdzeniem o różniczkowaniu złożenia funkcji: jeśli f\colon U \to Y jest różniczkowalna w x należącym do U, zaś g\colon Y \to W jest różniczkowalna w y = f(x), to złożenie g \circ f jest różniczkowalne w x, a jego pochodna jest złożeniem pochodnych:

\operatorname D(g \circ f)(x) = \operatorname Dg\bigl(f(x)\bigr) \circ \operatorname Df(x).

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału f w punkcie x_0 jest \delta f(x_0) = 0. Otóż skoro \varepsilon(x_0, h) \to 0 dla \|h\| \to 0, to \Delta f(x_0) = f(x_0 + h) - f(x_0) dla dostatecznie małych \|h\| jest określony przez znak \delta f. Gdyby \Delta f \ne 0, to z liniowości \delta f wynika, że dla małych \|h\| znak \Delta f może być zarówno dodatni, jak i ujemny, tzn. w sąsiedztwie x_0 istnieją zarówno wartości mniejsze, jak i większe od f(x_0), a więc f nie może osiągnąć ekstremum w tym punkcie.

Przestrzenie skończeniewymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Przypadek jednowymiarowy
Information icon.svg Zobacz też: pochodna.

Pojęcie pochodnej Frécheta jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji rzeczywistej. Ciągłe przekształcenia liniowe \mathbb R \to \mathbb R są postaci y = ax, gdzie a jest liczbą rzeczywistą. W tym przypadku różniczka A_x(h) pojawiająca się w definicji jest funkcją postaci

h \mapsto f'(x)h.

Wyrażenie

\lim_{h \to 0} \frac{\bigl|f(x + h) - f(x) - ah\bigr|}{|h|} = 0

jest równoważne definicji różniczkowalności funkcji f, tj.

\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a,

gdzie a jest pochodną funkcji f w punkcie x.

Przypadek wielowymiarowy
Information icon.svg Zobacz też: macierz Jacobiego.

W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie przekształcenia liniowe są ciągłe (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe), więc pochodna Frécheta pokrywa się pokrywa się w tym przypadku z tradycyjnym pojęciem pochodnej funkcji wielu zmiennych. W szczególności, może być ona reprezentowana za pomocą macierzy Jacobiego.

Niech \mathrm f\colon U \to \mathbb R^m, będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze U przestrzeni \mathbb R^n. Jeśli \mathrm f jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie \mathrm a \in U, to jej pochodną jest przekształcenie

\operatorname D\mathrm f(\mathrm a)\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m,

gdzie

\operatorname D\mathrm f(\mathrm a)(\mathbf v) = \mathbf J_\mathrm f(\mathrm a)\; \mathbf v,

przy czym \mathbf J_\mathrm f(\mathrm a) oznacza macierz Jacobiego funkcji \mathrm f w punkcie \mathrm a.

Co więcej, pochodne cząstkowe \mathrm f(\mathrm x) dane są wzorem

\frac{\partial \mathrm f}{\partial x_i}(\mathrm a) := \frac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf e_i}(\mathrm a) = \operatorname D\mathrm f(\mathrm a)(\mathbf e_i) = \mathbf J_\mathrm f(\mathrm a)\; \mathbf e_i,

gdzie \{\mathbf e_i\} oznacza bazę kanoniczną \mathbb R^n, zaś \mathrm x = (x_1, \dots, x_n). Pochodna jest przekształceniem liniowym, więc dla wszystkich wektorów \mathbf h \in \mathbb R^n pochodna kierunkowa \mathrm f w kierunku \mathbf h wyraża się wzorem

\operatorname D\mathrm f(\mathrm a)(\mathbf h) = \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial \mathrm f}{\partial x_i}(\mathrm a).

Związek ten jest ogólniejszej natury – zob. związek z pochodną Gâteaux.

Zachodzi również twierdzenie Schwarza mówiące, że jeśli wszystkie pochodne cząstkowe \mathrm f istnieją i są ciągłe, to \mathrm f jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: funkcja może być różniczkowalna w sensie Frécheta, jednak jej pochodne cząstkowe mogą nie być ciągłe.

Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Metody rachunku różniczkowego umożliwiają dość sprawne wyznaczanie przybliżonych wartości skomplikowanych wyrażeń. Niech za przykład posłuży

w = \frac{(2{,}03)^4}{(3{,}998)^2}.

Mając funkcję f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R daną wzorem

f(x, y) = \frac{x^4}{y^2}

wystarczy zauważyć, iż zgodnie z powyższymi uwagami prawdziwy jest wzór

f(x + h, y + k) \approx f(x, y) + \tfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) \cdot h + \tfrac{\partial f}{\partial y}(x, y) \cdot k.

Podstawiając (x, y) = (2, 4) oraz (h, k) = (0{,}03, -0{,}002) uzyskuje się

\tfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 4\tfrac{x^3}{y^2} oraz \tfrac{\partial f}{\partial y}(x, y) = -2\tfrac{x^4}{y^3}.

Co ostatecznie daje

\begin{align} w & \approx f(2, 4) + \tfrac{\partial f}{\partial x}(2, 4) \cdot 0{,}03 + \tfrac{\partial f}{\partial y}(2, 4) \cdot (-0{,}002) \\ & = 1 + 2 \cdot 0{,}03 + (-\tfrac{1}{2}) \cdot (-0{,}002) \\ & = 1 + 0{,}06 + 0{,}001 = 1,061.\end{align}

Związek z pochodną Gâteaux[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: pochodna Gâteaux.

Jeśli f jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie x, to jest ona w nim również różniczkowalna w sensie Gâteaux, a g jest po prostu operatorem liniowym \operatorname A = \operatorname Df(x). Nie każda funkcja różniczkowalna w sensie Gâteaux jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Przykładowo funkcja f o wartościach rzeczywistych określona wzorem

f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2}, & \mbox{ gdy } (x, y) \ne (0, 0), \\ 0, & \mbox{ gdy } (x, y) = (0, 0) \end{cases}

jest ciągłą i różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie (0, 0), przy czym jej pochodną jest

g(a, b) = \begin{cases} \frac{a^3}{a^2+b^2}, & \mbox{ gdy } (a, b) \ne (0, 0), \\ 0, & \mbox{ gdy } (a, b) = (0, 0). \end{cases}

Funkcja g nie jest operatorem liniowym, zatem funkcja f nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta.

Innym przykładem może być funkcja f dana wzorem

f(x, y) = \begin{cases}\frac{x^3y}{x^6+y^2}, & \mbox{ gdy } (x, y) \ne (0, 0), \\ 0, & \mbox{ gdy } (x, y) = (0, 0), \end{cases}

która jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie (0, 0), a jej pochodna g(a, b) = 0 dla wszystkich (a, b) jest operatorem liniowym. Mimo to f nie jest ciągła w (0, 0), co można zaobserwować zbiegając do początku układu wzdłuż krzywej (t, t^3), i dlatego f nie może być tam różniczkowalna w sensie Frécheta.

Subtelniejszym przykładem jest

f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2y}{x^4+y^2}\sqrt{x^2+y^2}, & \mbox{ gdy } (x, y) \ne (0, 0), \\
0, & \mbox{ gdy } (x, y) = (0, 0),\end{cases}

która jest funkcją ciągłą, różniczkowalną w (0, 0), przy czym jej pochodną jest g(a, b) = 0, co raz jeszcze oznacza, że jest liniowa. Jednakże f nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica

\lim_{(x,y) \to (0,0)} \left|\frac{x^2y}{x^4+y^2}\right|

nie istnieje.

Poniższy przykład zachodzi tylko w nieskończenie wielu wymiarach. Niech X będzie przestrzenią Banacha, a \varphi będzie funkcjonałem liniowym na X, który jest nieciągły w x = 0 (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe). Niech

f(x) = \|x\|\varphi(x).

Wówczas f(x) jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w x = 0, a jej pochodna jest równa 0. Mimo to f(x) nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica

\lim_{x \to 0} \varphi(x)

nie istnieje.

Jeśli f jest różniczkowalna w sensie Gâteaux na zbiorze otwartym U \subseteq V, to f jest różniczkowalna w sensie Frécheta, gdy jej pochodna Gâteaux jest liniowa i ograniczona w każdym punkcie U oraz jest przekształceniem ciągłym U \to \operatorname L(V, W).

Pochodne wyższego rzędu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie podzbioru otwartego U zbioru V, to jej pochodna

\operatorname Df\colon U \to \operatorname L(V, W)

jest funkcją U o wartościach w przestrzeni \operatorname L(V, W), tzn. w przestrzeni wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z V do W. Funkcja ta również może mieć pochodną, nazywaną pochodną drugiego rzędu z funkcji f, i oznaczaną przez \operatorname D^2 która, z definicji pochodnej, będzie przekształceniem

\operatorname D^2f\colon U \to \operatorname L\bigl(V, \operatorname L(V, W)\bigr).

Często dokonuje się utożsamienia zbioru wartości funkcji \operatorname D^2 z przestrzenią \operatorname L^2(V \times V, W), tzn. przestrzenią wszystkich ciągłych przekształceń dwuliniowych z V w W.. Dokładniej, element \varphi przestrzeni \operatorname L\bigl(V, \operatorname L(V, W)\bigr) utożsamia się takim elementem \psi należącym do \operatorname L^2(V \times V, W), że dla dowolnych x i y należących do V spełniony jest warunek

\varphi(x)(y) = \psi(x, y).

Intuicyjnie funkcja \varphi liniowa względem x i \varphi(x) liniowa względem y jest tym samym, co funkcja dwuliniowa \psi względem x oraz y.

Jeżeli funkcja

\operatorname D^2f\colon U \to \operatorname L^2(V \times V, W)

jest różniczkowalna, to jej pochodną nazwya się pochodną trzeciego rzędu funkcji f. Pochodna ta jest oczywiście przekształceniem trójliniowym itd. Pochodną n-tego rzędu (o ile istnieje) jest funkcja

\operatorname D^nf\colon U \to \operatorname L^n(V \times V\times \dots \times V, W)

przyjmująca wartości w przestrzeni Banacha ciągłych przekształceń n-liniowych określonych w V i o wartościach w W.. Indukcyjnie, funkcja f jest n+1 razy różniczkowalna na U, jeśli jest n-krotnie różniczkowalna w zbiorze U oraz dla każdego x z U istnieje takie ciągłe przekształcenie (n+1)-liniowe A, że istnieje granica

\lim_{h_{n+1} \to 0} \frac{\bigl\|\operatorname D^nf(x + h_{n+1})(h_1, h_2, \dots, h_n) - \operatorname D^nf(x)(h_1, h_2, \dots, h_n) - \operatorname A(h_1, h_2, \dots, h_n, h_{n+1})\bigr\|}{\|h_{n+1}\|} = 0

oraz zbieżność ta jest jednostajna względem h_1, h_2, \dots, h_n na ograniczonych podzbiorach V. Operator \operatorname A nazywany jest wówczas pochodną (n+1)-rzędu funkcji f w punkcie x.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]