Pochodna Pincherlego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodna Pincherlego – w matematyce operator liniowy T^\prime\colon K[x] \to K[x] przekształcający inny operator liniowy T\colon K[x] \to K[x], określony na przestrzeni liniowej wielomianów zmiennej x z ciała \mathbb K, zdefiniowany wzorem

T^\prime = [T, x] = Tx - xT = -\operatorname{ad}(x) T

tak, że

T^\prime\bigg(p(x)\bigg) = T\bigg(x p(x)\bigg) - x T\bigg(p(x)\bigg) dla każdego p(x) \in K[x].

Innymi słowy, pochodna Pincherlego to komutator T z mnożeniem przez x w algebrze endomorfizmów \operatorname{End}\left(K[x]\right).

Pojęcie to nazwano po włoskim matematyku, Salvatore Pincherle (1853–1936).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Pochodna Pincherlego, jak każdy komutator jest różniczkowaniem, co oznacza, że spełnia prawa dodawania i mnożenia: dla danych dwóch operatorów liniowych S i T należących do \operatorname{End}\left(K[x]\right) jest

Zwykła pochodna, \operatorname{D} = {d \over dx} jest operatorem wielomianowym. Policzenie wprost daje, że jego pochodna Pincherlego to \operatorname{D}^\prime = \left(\tfrac{d}{dx}\right)^\prime = \operatorname{Id}_{K[x]} = 1.

Wzór ten uogólnia się do \left(\operatorname{D}^n\right)^\prime = \left(\tfrac{d^n}{dx^n}\right)^\prime = n \operatorname{D}^{n-1} przez indukcję. Dowodzi to, że pochodna Pincherlego operatora różniczkowego \partial = \sum a_n \tfrac{d^n}{dx^n} = \sum a_n \operatorname{D}^n również jest operatorem różniczkowym, a więc pochodna Pincherlego jest różniczkowaniem \operatorname{Diff}(K[x]).

Operator przesunięcia S_h(f)(x) = f(x + h) może być zapisany jako S_h = \sum_n \tfrac{h^n}{n!} \operatorname{D}^n ze wzoru Taylora. Wtedy jego pochodna Pincherlego to S_h^\prime = \sum_n \tfrac{h^n}{(n-1)!} \operatorname{D}^{n-1} = h \cdot S_h. Innymi słowy, operatory przesunięcia są wektorami własnymi pochodnej Pincherlego, którego spektrum jest cała cała przestrzeń skalarów K.

Jeżeli T jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia, tzn. jeżeli T komutuje z S_h lub [T, S_h] = 0, to zachodzi wtedy również [T^\prime, S_h] = 0, a więc T^\prime również jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia o to samo przesunięcie h.

„Operator delta z czasem dyskretnym” (\delta f)(x) = \tfrac{f(x+h) - f(x)}{h} to operator \delta = \tfrac{1}{h} (S_h - 1), którego pochodna Pincherlego jest operatorem przesunięcia \delta^\prime = S_h.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]