Pochodna kierunkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pochodna kierunkowa – w analizie matematycznej, dziale matematyki, pojęcie charakteryzujące przyrost wartości funkcji w kierunku ustalonego wektora. Stanowi ono uogólnienie pochodnej cząstkowej, w której wspomniane wektory są równoległe względem osi układu.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa \mathbb R^n i leżący w niej podzbiór otwarty U. Funkcja \mathrm f\colon U \to \mathbb R^m ma pochodną kierunkową wzdłuż wektora (jednostkowego) \mathbf u \in \mathbb R^n w punkcie \mathrm x \in U, jeżeli istnieje skończona granica

\frac{\partial \mathrm f(\mathrm x)}{\partial \mathbf u} = \lim_{t \to 0}\frac{\mathrm f(\mathrm x + t\mathbf u) - \mathrm f(\mathrm x)}{t},

gdzie t \in \mathbb R.

Jeżeli \mathrm f jest różniczkowalna w \mathrm x, to istnieje jej pochodna \operatorname D\mathrm f(\mathrm x) w tym punkcie i wtedy

\frac{\partial \mathrm f(\mathrm x)}{\partial \mathbf u} = \operatorname D\mathrm f(\mathrm x)(\mathbf u).

Stąd zachodzi również odpowiednia równość dla gradientu oznaczanego dalej symbolem \nabla, która jest źródłem innego oznaczenia pochodnej kierunkowej:

\nabla \mathrm f(\mathrm x) \cdot \mathbf u \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \nabla_\mathbf u \mathrm f(\mathrm x),

gdzie \cdot oznacza iloczyn skalarny.

Niekiedy zezwala się na branie pochodnej kierunkowej w kierunku niezerowego wektora \mathbf v, który nie jest jednostkowy. Wówczas należy zmodyfikować powyższą definicję, aby odzwierciedlić fakt, iż \mathbf v może nie być znormalizowany; w ten sposób

\frac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf v}(\mathrm x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\mathrm f(\mathrm x + t\mathbf v) - \mathrm f(\mathrm x)}{t|\mathbf v|},

lub w przypadku, gdy \mathrm f jest różniczkowalna w \mathrm x,

\frac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf v}(\mathrm x) = \operatorname D\mathrm f(\mathrm x)\left(\tfrac{\mathbf v}{|\mathbf v|}\right).

Taka notacja dla wektorów, które nie są jednostkowe (nieoznaczone dla wektora zerowego) jest jednak niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.

Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, wśród nich:

\tfrac{\partial \mathrm f}{\partial \mathbf u}(\mathrm x),\; \operatorname D_\mathbf u \mathrm f(\mathrm x),\; \mathrm f'_\mathbf u(\mathrm x),\; \nabla_\mathbf u \mathrm f(\mathrm x),\; \mathbf u \nabla \mathrm f(\mathrm x).

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ dla funkcji f(x, y) = x^2 + xy - y^2 jest

\nabla f(x, y) = \left(\nabla_x f(x, y) , \nabla_y f(x, y) \right)= \left(2x + y - 0, 0 + x - 2y\right),

to pochodna kierunkowa f w kierunku wektora [u, v] = \left[\sqrt 2, \sqrt 3\right] wynosi

\nabla_{[u, v]} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot [u, v] = \sqrt 2(2x + y) + \sqrt 3(x - 2y) = (2\sqrt 2 + \sqrt 3)x + (\sqrt 2 - 2\sqrt 3)y.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Pochodna kierunkowa ma wiele znanych własności zwykłej pochodnej. Wśród nich, dla funkcji \mathrm f i \mathrm g określonych w otoczeniu p, w którym są również różniczkowalne:

  • reguła sumy: \nabla_\mathbf v (\mathrm f + \mathrm g) = \nabla_\mathbf v \mathrm f + \nabla_\mathbf v \mathrm g;
  • reguła stałej: dla dowolnej stałej c zachodzi \nabla_\mathbf v (c\mathrm f) = c\nabla_\mathbf v \mathrm f;
  • reguła iloczynu (lub Leibniza): \nabla_\mathbf v(\mathrm{fg}) = \mathrm g\nabla_\mathbf v \mathrm f + \mathrm f\nabla_\mathbf v \mathrm g;
  • reguła łańcuchowa: jeśli \mathrm g jest różniczkowalna w \mathrm p, zaś \mathrm h jest różniczkowalna w \mathrm g(\mathrm p), to
    \nabla_\mathbf v (\mathrm h \circ \mathrm g)(\mathrm p) = \nabla \mathrm h\bigl(\mathrm g(\mathrm p)\bigr) \nabla_\mathbf v \mathrm g(\mathrm p)

Związki z innymi pochodnymi[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: pochodna cząstkowa.

Jeśli (\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n) jest bazą standardową \mathbb R^n, to dla \mathbf u = \mathbf e_i pochodna kierunkowa funkcji \mathrm f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m pokrywa się z pojęciem pochodnej cząstkowej. Dla funkcji \mathrm f przyjmuje się zwykle oznaczenie

\frac{\partial \mathrm f(\mathrm x)}{\partial \mathbf e_i} \overset\underset\mathrm{ozn}\ = \frac{\partial \mathrm f(\mathrm x)}{\partial x_i},

gdzie \mathrm x = (x_1, \dots, x_n).

Rozmaitości różniczkowe[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: przestrzeń styczna.

Niech M oznacza rozmaitość różniczkową, zaś f będzie funkcją określoną w otoczeniu punktu p rozmaitości M, różniczkowalną w p. Jeśli v jest wektorem stycznym do M w punkcie p, to pochodna kierunkowa f wzdłuż v, oznaczana symbolami \nabla_v f(p) (zob. pochodna kowariantna), \operatorname L_v f(p) (zob. pochodna Liego) lub v_p(f) (zob. przestrzeń styczna), może być określona jak następuje.

Niech \gamma\colon [-1, 1] \to M będzie krzywą różniczkowalną \gamma(0) = p dla której \gamma'(0) = v. Pochodną kierunkową definiuje jest wtedy wzorem

\nabla_v f(p) = \tfrac{\operatorname d}{\operatorname d\tau} (f \circ \gamma)(\tau)\Big|_{\tau = 0}.

Dowodzi się, że definicja nie zależy od wyboru \gamma, o ile \gamma jest wybrana jak wskazano wyżej tak, by \gamma'(0) = v.

Przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: pochodna Gâteaux.

Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne, a więc w tym przestrzeń Banacha, jest tzw. pochodna Gâteaux.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]