Pochodna kierunkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodna kierunkowa – to pochodna funkcji wielu zmiennych \mathbf x=[x_1,\ldots,x_n]\in \mathbb R^n obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego \mathbf u=[u_1,\ldots,u_n]. Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych,

Definicja pochodnej kierunkowej[edytuj | edytuj kod]

Paraboloida, która jest wykresem funkcji \scriptstyle f: \mathbb R^2 \to \mathbb R, w czerwonym punkcie ma maksimum; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.

Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa \mathbb R^n i zawarty w niej podzbiór otwarty A.

Pochodną kierunkową funkcji f\colon A \to \mathbb R wzdłuż wektora jednostkowego \mathbf u=[u_1,\ldots,u_n]\in \mathbb R^n w punkcie  \mathbf x=[x_1,\ldots,x_n]\in A nazywamy granicę

\frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial \mathbf u} = \lim_{t \to 0}\frac{f(\mathbf x + t\mathbf u) -  f(\mathrm x)}{t},

zakładając, że granica ta istnieje.

Twierdzenie: Niech \nabla f(\mathbf x) oznacza gradient funkcji w punkcie \mathbf x

\nabla f = \left[\frac{\partial f}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right]

i załóżmy, że gradient ten istnieje (co oznacza, że jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie \mathbf x). Wtedy pochodną kierunkową można obliczyć z iloczynu skalarnego gradientu i wektora \mathbf u

\nabla_\mathbf u f(\mathbf x)=
\nabla f(\mathbf x) \cdot \mathbf u

Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego (i niezerowego) wektora \mathbf v ma postać:

\frac{\partial f}{\partial \mathbf v}(\mathbf x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(\mathbf x + t\mathbf v) - f(\mathrm x)}{t|\mathbf v|},

gdzie |\mathbf v| oznacza długość wektora \mathbf v. Gdy f jest różniczkowalna w punkcie \mathrm x, to analogicznie jak dla pochodnej w kierunku wektora jednostkowego mamy


\nabla_\mathbf v f(\mathbf x)=
\nabla f(\mathbf x) \cdot \frac{\mathbf v}{|\mathbf v|}

czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.

Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.

Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta \operatorname D\! f(\mathbf x) pochodną kierunkową wyznacza wzór:

\frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial \mathbf u} = \operatorname D\!f(\mathbf x)(\mathbf u).

Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, wśród nich:

\tfrac{\partial f}{\partial \mathbf u}(\mathbf x),\; \operatorname D_\mathbf u f(\mathbf x),\; f'_\mathbf u(\mathbf x),\; \nabla_\mathbf u f(\mathbf x),\; \mathbf u \nabla f(\mathbf x).

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ dla funkcji f(x, y) = x^2 + xy - y^2 jest

\nabla f(x, y) = \left[\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}  ,\ \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \right]= \left[2x + y,\ x - 2y\right],

to pochodna kierunkowa f w kierunku jednostkowego wektora \mathbf u = \left[\frac{1}{\sqrt 5},\ \frac{2}{\sqrt 5}\right] wynosi

\nabla_{\mathbf u} f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf u = \frac{1}{\sqrt 5}(2x + y) + \frac{2}{\sqrt 5}(x - 2y) = \frac{4}{\sqrt 5}x - \frac{3}{\sqrt 5}y = \frac{4x - 3y}{\sqrt 5}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna. Wśród nich, dla funkcji  f i  g określonych w otoczeniu punktu \mathbf x, w którym funkcje te są również różniczkowalne, słuszne są reguły:

  • reguła sumy: \nabla_\mathbf v ( f +  g) = \nabla_\mathbf v  f + \nabla_\mathbf v g,
  • reguła stałej: dla dowolnej stałej c\in R zachodzi \nabla_\mathbf v (c  f) = c\nabla_\mathbf v  f,
  • reguła iloczynu (lub Leibniza): \nabla_\mathbf v(fg) =  g\,\nabla_\mathbf v f +  f\,\nabla_\mathbf v  g,
  • reguła łańcuchowa: jeśli g jest różniczkowalna w \mathbf x zaś h jest różniczkowalna w g(\mathbf x) to
    \nabla_\mathbf v ( h \circ  g)(\mathbf x) = \nabla h\bigl(g(\mathbf x)\bigr) \nabla_\mathbf v g(\mathbf x).

Związki z innymi pochodnymi[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pochodna cząstkowa.

Jeśli \{\mathbf e_1, \dots, \mathbf e_n\} jest bazą standardową w \mathbb R^n, to pochodna kierunkowa funkcji f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m wzdłuż wektora dla \mathbf u = \mathbf e_i pokrywa się z pochodną cząstkową względem zmiennej x_i , tzn.

\frac{\partial f(\mathrm x)}{\partial \mathbf e_i} = \frac{\partial f(\mathrm x)}{\partial x_i},

gdzie \mathrm x = [x_1, \dots, x_n].

Rozmaitości różniczkowe[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: przestrzeń styczna.

Niech f oznacza funkcję określoną w otoczeniu punktu p rozmaitości różniczkowej M, różniczkowalną w punkcie p ; v oznacza wektor styczny do rozmaitości M w punkcie p .

Pochodną kierunkową w punkcie p wzdłuż wektora v definiuje się następująco:

Niech odwzorowanie k\colon [-1, 1] \to M generuje krzywą różniczkowalną, taką że k(0) = p orazk\,'(0) = v. Pochodną kierunkową definiuje jest wzorem

\nabla_v f(p) = \tfrac{\operatorname d}{\operatorname d\tau} (f \circ k)(\tau)\Big|_{\tau = 0}

Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej k .

Pochodną kierunkową funkcji f wzdłuż wektora v oznacza się symbolami:

Przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pochodna Gâteaux.

Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha) jest tzw. pochodna Gâteaux.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

[1] Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I: Elementy. Warszawa: PWN, 1976.

[2] Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 2009.