Pochodna kowariantna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
W tym artykule występują konwencje związane z teoriami relatywistycznymi.

Pochodna kowariantna - tensor powstały w wyniku różniczkowania innego tensora.

Uzasadnienie[edytuj | edytuj kod]

Tensory to wielkości, które są niezależne od układu współrzędnych. Działania na tensorach dają w wyniku inne tensory. Jednak przy złym zdefiniowaniu działań bardzo łatwo otrzymać wielkość, która nie jest tensorem. W zastosowaniach fizycznych potrzebna była definicja pochodnej tensora. Pierwsze podejście, polegające na obliczaniu pochodnej cząstkowej, prowadziło do obiektu, który nie był tensorem. Aby otrzymać poprawną pochodną, dodano do pochodnej cząstkowej swego rodzaju poprawkę, w wyniku czego uzyskano pochodną kowariantną.

Pochodna kowariantna jest identyczna z pochodną cząstkową w prostoliniowym kartezjańskim układzie współrzędnych a w każdym układzie krzywoliniowym jest od niej różna.

Wyprowadzenie w ogólnej teorii względności[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie pochodnej kowariantnej pojawia się w wielu teoriach, jednak w ogólnej teorii względności (OTW) jest ono najprostsze i posiada najbardziej intuicyjną interpretację geometryczną.

W dalszej części artykułu tensory oznacza się literami pogrubionymi. Utożsamiamy pojęcie tensora z polem tensorowym.

Pochodna cząstkowa[edytuj | edytuj kod]

Zdefiniujmy sobie w przestrzeni krzywoliniowy układ współrzędnych. W każdym punkcie tej przestrzeni ustalamy kilka (tyle, ile jest wymiarów przestrzeni) niezależnych liniowo wektorów, których będziemy używać do wyliczania składowych tensorów. Oznaczmy te wektory jako \bold{e}_{\alpha}. Istnieje też wobec tego dualny zbiór kowektorów \bold{e}^{\alpha}.

Weźmy teraz najprostszy nietrywialny różniczkowalny tensor: wektor kontrawariantny. Jego składowe spełniają równanie:

\bold{J} = J^{\alpha} \bold{e}_{\alpha}

gdzie \bold{J} to wektor, a J to jego składowe.

Każdy tensor można traktować jako funkcję wielu zmiennych zwanych współrzędnymi. Zdefiniujmy pochodną wektora jako pochodną cząstkową jego składowych względem każdej współrzędnej (oznaczenie: \partial_{\alpha} oznacza pochodną cząstkową względem współrzędnej o numerze \alpha).

\operatorname{d} \bold{J} = (\partial_{\beta} J^{\alpha}) \bold{e}_{\alpha} \bold{e}^{\beta}

Przejdźmy teraz do innego układu współrzędnych związanego z poprzednim wzorem:

\bold{e}^{\star}_{\alpha} = \Lambda^{\beta}_{\alpha} \bold{e}_{\beta}

wobec czego zachodzą wzory:

\bold{e}_{\alpha} = (\Lambda^\beta_\alpha)^{-1} \bold{e}^{\star}_{\beta} (przekształcenie odwrotne)
\bold{e}^{\alpha} = \Lambda^{\alpha}_{\beta} \bold{e}^{\star \beta} (przekształcenie bazy dualnej)
J^{\star \alpha} = (\Lambda^\beta_\alpha)^{-1} J^{\beta} (transformacja składowych wektora)
\partial^{\star}_{\alpha} = \Lambda^{\beta}_{\alpha} \partial_{\beta} (pochodna względem nowych współrzędnych)

i zobaczmy, co stało się z naszą pochodną.

\operatorname{d} \bold{J} = (\partial_{\beta} J^{\alpha}) \bold{e}_{\alpha} \bold{e}^{\beta}
\operatorname{d} \bold{J} = (\partial_{\beta} (\Lambda^{\alpha}_{\delta} J^{\star \delta})) ((\Lambda^\eta_\alpha)^{-1} \bold{e}^{\star}_{\eta}) (\Lambda^{\beta}_{\zeta} \bold{e}^{\star \zeta}) (przejście do drugiej bazy)
\operatorname{d} \bold{J} = ((\partial_{\beta} \Lambda^{\alpha}_{\delta}) J^{\star \delta} + \Lambda^{\alpha}_{\delta} (\partial_{\beta} J^{\star \delta})) ((\Lambda^\eta_\alpha)^{-1} \bold{e}^{\star}_{\eta}) (\Lambda^{\beta}_{\zeta} \bold{e}^{\star \zeta}) (pochodna iloczynu)
\operatorname{d} \bold{J} = (\partial_{\beta} \Lambda^{\alpha}_{\delta}) J^{\star \delta} ((\Lambda^\eta_\alpha)^{-1} \bold{e}^{\star}_{\eta}) (\Lambda^{\beta}_{\zeta} \bold{e}^{\star \zeta}) + \Lambda^{\alpha}_{\delta} (\partial_{\beta} J^{\star \delta}) ((\Lambda^\eta_\alpha)^{-1} \bold{e}^{\star}_{\eta}) (\Lambda^{\beta}_{\zeta} \bold{e}^{\star \zeta}) (mnożenie sumy przez czynnik)
\operatorname{d} \bold{J} = J^{\star \delta} (\partial_{\beta} \bold{e}^{\star}_{\delta}) (\Lambda^{\beta}_{\zeta} \bold{e}^{\star \zeta}) + (\partial_{\beta} J^{\star \delta}) \bold{e}^{\star}_{\delta} (\Lambda^{\beta}_{\zeta} \bold{e}^{\star \zeta}) (skracanie macierzy wzajemnie odwrotnych)
\operatorname{d} \bold{J} = J^{\star \delta} ((\Lambda^{\beta}_{\zeta} \partial_{\beta}) \bold{e}^{\star}_{\delta}) \bold{e}^{\star \zeta} + ((\Lambda^{\beta}_{\zeta} \partial_{\beta}) J^{\star \delta}) \bold{e}^{\star}_{\delta} \bold{e}^{\star \zeta} (przeniesienie macierzy w pobliże operatora różniczkowania)
\operatorname{d} \bold{J} = J^{\star \delta} (\partial^{\star}_{\zeta} \bold{e}^{\star}_{\delta}) \bold{e}^{\star \zeta} + (\partial^{\star}_{\zeta} J^{\star \delta}) \bold{e}^{\star}_{\delta} \bold{e}^{\star \zeta} (przejście do nowych zmiennych różniczkowania)

Jak widać, przy przejściu do innego układu współrzędnych pochodna cząstkowa uzyskuje dodatkowy składnik J^{\star \delta} (\partial^{\star}_{\zeta} \bold{e}^{\star}_{\delta}) \bold{e}^{\star \zeta}. Jest on różny od zera, ponieważ założyliśmy, że układ współrzędnych jest krzywoliniowy. Zależy on od wyboru układu współrzędnych (konkretnie od pochodnych wektorów bazowych) i wobec tego nie wyznacza żadnej reprezentacji grupy przekształceń. Zatem pochodna cząstkowa nie jest tensorem.

Pochodna kowariantna[edytuj | edytuj kod]

Aby uzyskać działanie różniczkowe dające w wyniku tensor, definiujemy specjalną pomocniczą wielkość (nie będącą tensorem) zwaną polem kompensacyjnym. Pole kompensacyjne ma dawać przy transformacji taki sam składnik, jak pochodna cząstkowa.

\bold{\Alpha} \bold{J} = (\Alpha_{\beta} J^{\alpha}) \bold{e}_{\alpha} \bold{e}^{\beta}
\bold{\Alpha} \bold{J} = (\Alpha^{\star}_{\zeta} J^{\star \delta}) \bold{e}^{\star}_{\delta} \bold{e}^{\star \zeta} + J^{\star \delta} (\partial^{\star}_{\zeta} \bold{e}^{\star}_{\delta}) \bold{e}^{\star \zeta}

Definiujemy następnie nowy operator będący różnicą pochodnej cząstkowej i pola kompensacyjnego

\operatorname{D} \bold{J} = (\operatorname{d} - \bold{\Alpha}) \bold{J}
\operatorname{D} \bold{J} = \operatorname{d} \bold{J} - \bold{\Alpha} \bold{J}

który nazwiemy oczywiście pochodną kowariantną.

Podczas transformacji zarówno pochodna cząstkowa jak i pole kompensacyjne dadzą te same składniki, które zniosą się i w wyniku uzyskamy tensor.

\operatorname{D} \bold{J} = (\partial_{\beta} J^{\alpha}) \bold{e}_{\alpha} \bold{e}^{\beta} - (\Alpha_{\beta} J^{\alpha}) \bold{e}_{\alpha} \bold{e}^{\beta}
\operatorname{D} \bold{J} = (\partial^{\star}_{\zeta} J^{\star \delta}) \bold{e}^{\star}_{\delta} \bold{e}^{\star \zeta} + [J^{\star \delta} (\partial^{\star}_{\zeta} \bold{e}^{\star}_{\delta}) \bold{e}^{\star \zeta}] - (\Alpha^{\star}_{\zeta} J^{\star \delta}) \bold{e}^{\star}_{\delta} \bold{e}^{\star \zeta} - [J^{\star \delta} (\partial^{\star}_{\zeta} \bold{e}^{\star}_{\delta}) \bold{e}^{\star \zeta}] (wyrazy w nawiasach prostokątnych znoszą się)

Pochodna kowariantna jest tensorem i dlatego jest poprawną wielkością uzyskiwaną z różniczkowania tensorów. W szczególności spełnia ona zależność:

\operatorname{D} (\bold{A} \bold{B}) = (\operatorname{D} \bold{A}) \bold{B} + \bold{A} (\operatorname{D} \bold{B})

Pole kompensacyjne[edytuj | edytuj kod]

Pozostaje obliczyć pole kompensacyjne. Nie jest ono tensorem, dlatego trzeba je obliczać osobno dla każdego układu współrzędnych.

\bold{\Alpha}(\bold{e}_{\mu}) \bold{J} = (\Alpha(\bold{e}_{\mu})_{\beta} J^{\alpha}) \bold{e}_{\alpha} \bold{e}^{\beta}

Wiemy, że w prostoliniowym układzie kartezjańskim pochodna cząstkowa jest identyczna z pochodną kowariantną, czyli całe pole jest równe 0. Zatem składowe \Alpha_{\zeta} pola pomocniczego są równe 0 w układzie kartezjańskim prostoliniowym.

Składowe w innych układach można wyprowadzić z faktu, że podczas transformacji pojawia się dodatkowy składnik.

Interpretacja geometryczna[edytuj | edytuj kod]

Różniczkowanie jest jedynym działaniem, w którym ujawnia się zakrzywienie przestrzeni. Różniczkowanie zawsze odbywa się względem jakichś współrzędnych, a te mają interpretację jako linie krzywe. Miarą zakrzywienia przestrzeni jest pole kompensacyjne. W przestrzeni płaskiej jest ono równe 0 i pochodna kowariantna pokrywa się z pochodną cząstkową. Staje się ono niezerowe kiedy wektory bazowe mają niezerowe pochodne.

Pole kompensacyjne nie jest tensorem, ale komutator dwóch pól kompensacyjnych jest tensorem. Nazywa się go tensorem krzywizny Riemanna i jest on miarą zakrzywienia przestrzeni.

Wyprowadzenie w innych teoriach[edytuj | edytuj kod]

Pochodna cząstkowa jest nieodpowiednią wielkością także w innych teoriach, dlatego także w nich trzeba wprowadzać pola kompensacyjne i pochodną kowariantną. Jednak o ile w teorii względności dodatkowy składnik pojawiający się przy transformowaniu pochodnej cząstkowej zawiera wyłącznie współrzędne czasoprzestrzenne i ich pochodne, o tyle w innych teoriach składnik ten może zależeć od innych parametrów. Pole kompensacyjne nie ma wtedy naturalnego wyprowadzenia i trzeba je ustalić arbitralnie.

Na przykład w teoriach pól kwantowych z cechowaniem pochodna zależy od dodatkowego parametru (albo parametrów), który nie ma nic wspólnego ze współrzędnymi czasoprzestrzennymi.

Przykładowo, pochodna kwantowego pola elektronu zależy od potencjału elektrycznego. Trzeba wtedy wprowadzić pole kompensujące, które można zidentyfikować z polem fotonu. Pole fotonu nie jest poprawnym tensorem (ściślej: wektorem) w przestrzeni Lorentza, ponieważ wykazuje dodatkową niezmienniczość względem cechowania. Pozwala jednak na zdefiniowanie pochodnej pola elektronu będącej poprawnym tensorem. Interpretacja fizyczna tego faktu jest taka, że obecność pola elektrycznego wpływa na ruch elektronu.

Fakt ten jest odzwierciedleniem ogólnej zasady, że każde oddziaływanie wynika z jakiejś symetrii cechowania. Pochodne cząstkowe pól materii nie są poprawnymi tensorami; trzeba wprowadzić pochodną kowariantną, zdefiniowaną za pomocą pól kompensujących zwanych polami cechowania. Kwanty pól cechowania odpowiadają cząstkom fizycznym, zwanym bozonami cechowania. Właśnie z tego faktu wziął się pogląd, że każde oddziaływanie polega na wymianie wirtualnego bozonu. Przykładowo, polem cechowania w elektrodynamice jest foton, a w teorii oddziaływań elektrosłabych - foton, bozon Z i bozony W.

Tylko ogólna teoria względności podaje jeden wzór na pole kompensacyjne, w innych teoriach trzeba ustalić je na podstawie obserwacji. Istnieje jednak hipoteza, że pola kompensacyjne wszystkich teorii da się wyprowadzić w sposób podobny do znanego z teorii względności, jednak w większej ilości wymiarów. Wszystkie oddziaływania byłyby spowodowane zakrzywieniem czasoprzestrzeni: grawitacja - czterech znanych wymiarów a pozostałe - dodatkowych wymiarów. Teoria Kaluzy-Kleina to przykład teorii podobnej do teorii względności, gdzie elektromagnetyzm tłumaczony jest jako zakrzywienie piątego wymiaru.

Poprzedni artykuł[edytuj | edytuj kod]

Pochodna kowariantna jest odpowiednikiem "zwykłej" pochodnej w przestrzeni zakrzywionej. Pojęcie to jest potrzebne w elektrodynamice do opisu ruchu w polu elektromagnetycznym oraz w mechanice kwantowej do opisu cząstek kwantowych.

Pochodną kowariantną funkcji wektorowej \bar{A} = A^{k} e_{k} (funkcja ta jest wektorem o współrzędnych kowariantnych) nazywamy obiekt zdefiniowany jako:

A ^{k} _{\ ;l} = \frac{ \partial A ^{k} }{ \partial x ^{l} } + \Gamma ^{ k } _{ \ li} A ^{i}

Pochodną kowariantną funkcji wektorowej \bar{B} = B_{k} e^{k} (funkcja ta jest wektorem o współrzędnych kontrawariantnych) nazywamy obiekt zdefiniowany jako:

B_{i{};l} = \frac{\partial B_{i} }{ \partial x^{l}} - \Gamma ^{k} _{\ li} B_{k}

gdzie

\Gamma ^{k} _{\ li} - symbole Christoffela


Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dana funkcja wektorowa A(x^{k}) = A ^{i}e_{i}, obliczmy jej różniczkę zupełną dA

dA =\left. dA^{i} e _{i} + A^{i} de _{i} \right.

Różniczkę wersora zapiszemy przez różniczkę zmiennej x:

de_{i} = \Gamma ^{k} _{\ li} dx ^{l} e_{k}

dA = dA^{i} e _{i} + A^{i} \Gamma ^{k} _{\ li} dx ^{l} e_{k}

Wzór ten podzielmy przez różniczkę funkcji skalarnej u, a małe d po lewej stronie oznaczmy jako duże D:

\frac{DA}{du} =
 \frac{dA^{k}}{du} e _{k} + A^{i} \Gamma ^{k} _{\ li} \frac{dx ^{l}}{du} e_{k} = 
 \left (\frac{dA^{k}}{du} + A^{i} \Gamma ^{k} _{\ li} \frac{dx ^{l}}{du} \right)e_{k}

Wyrażenie w nawiasie nazywamy pochodną absolutną. Po rozbiciu pochodnej po du otrzymujemy:

\frac{DA}{du} =
\left (\frac{\partial A^{k}}{dx^{l}} + A^{i} \Gamma ^{k} _{\ li} \right) \frac{dx ^{l}}{du} e_{k}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]