Pochodna ułamkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pochodna ułamkowa - uogólnienie pojęcia pochodnej funkcji n-tego rzędu na rząd rzeczywisty.

Pochodną ułamkową najprościej zdefiniować poprzez różniczkowanie ułamkowe szeregu Taylora wyraz po wyrazie. Niech

 f(x) = x^k\;.

wtedy pochodna n-tego rzędu

 {d^n \over dx^n } x^k = { k! \over (k - n) ! } x^{k-n}\;,

Zadanie zdefiniowania pochodnej ułamkowej sprowadza sie do znalezienia funkcji która staje się silnią dla argumentu całkowitego. Taka funkcja to funkcja \Gamma.

Dla a rzeczywistego definiujemy więc

 {d^a \over dx^a } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - a + 1) } x^{k-a}\;.

Dla dowolnej funkcji rozwijalnej w szereg Taylora

f(y)= \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x)}{n!} (y-x)^{n}\,,

można ją zróżniczkować po wyrazie zgodnie z powyższą definicja co jest równoważne

f(x)=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_0^x(x-t)^{\alpha-1}{d^a \over dx^a }f(t)\,dt

licząc również całki wyraz po wyrazie.

Łatwo sprawdzić ze pochodna ułamkowa jest ciągła względem jej rzędu tzn. ze np. wykres pochodnej rzędu 1/2 leży pomiędzy pochodną 0 (samą funkcją) a pierwszą pochodną.