Pochodna formalna

Pochodna formalna – operacja na elementach pierścieni wielomianów lub pierścieni szeregów formalnych naśladująca własności pochodnej funkcji znanej z analizy matematycznej. Pochodna formalna ułatwia badanie pierwiastków wielomianu: są one wielokrotne, jeśli są zarazem pierwiastkami pochodnej wielomianu.

Niech dany będzie pierścień wielomianów $R[x]$ i wielomian

$f=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

do niego należący. Pochodną formalną wielomianu $f$ nazywa się wielomian $f'$ dany wzorem

$f'=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}.$

Powyższe sformułowanie przenosi się wprost na szeregi formalne, należy tylko założyć, iż pierścień skalarów jest przemienny.