Pochodne Wirtingera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pochodne Wirtingera a. operatory Wirtingera[1] – w analizie zespolonej jednej lub kilku zmiennych zespolonych operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu zachowujące się w bardzo podobny sposób do zwykłych pochodnych względem zmiennej rzeczywistej po przyłożeniu ich do funkcji holomorficznych, antyholomorficznych lub po prostu różniczkowalnych w obszarach płaszczyzny zespolonej. Operatory te umożliwiają, dla wspomnianych funkcji, konstrukcję rachunku różniczkowego całkowicie analogicznego do rachunku różniczkowego zwyczajnego funkcji zmiennych rzeczywistych.[2] Pojęcie nosi nazwisko Wilhelma Wirtingera, który wprowadził je w 1927 roku.

Pomimo ich powszechnego zastosowania,[3] zdaje się, że brakuje pracy, która zawierałaby wszystkie własności pochodnych Wirtingera; jednakże krótki kurs wielowymiarowej analizy zespolonej autorstwa Andreottiego (1976)[4] i monografia Kaupa (1984)[5] zawierają dość kompletny wykład na ich temat; z tego powodu będą używane w tym artykule jako główne źródło odniesienia.

Uwagi historyczne[edytuj | edytuj kod]

Pochodne Wirtingera wykorzystywano w analizie zespolonej, jak to zauważyli Cherry i Ye (2001, s. 31), co najmniej od czasów pracy Poincarégo (1899). Istotnie, w trzecim akapicie[6] tej pracy Henri Poincaré definiuje najpierw zmienną zespoloną w \mathbb C^n, a następnie jej sprzężenie zespolone wzorem

x_k + iy_k = z_k \qquad x_k - iy_k = u_k,

gdzie wskaźnik k ma w domyśle przebiegać od 1 do n. Następnie pisze on równanie definiujące funkcje, które nazywa on biharmonique,[7] wcześniej zapisane za pomocą pochodnych cząstkowych względem zmiennych rzeczywistych x_k, y_q dla k oraz q przebiegających od 1 do n w dokładnie następujący sposób[8]

\frac{\operatorname d^2 V}{\operatorname dz_k \operatorname du_q} = 0

Oznacza to, że przyjął on drugą (wielowymiarową) definicję przedstawioną niżej: aby się o tym przekonać, wystarczy porównać równania 2 oraz 2' w pracy Poincarégo (1899, 112). Jednakże pierwsze systematyczne wprowadzenie pochodnych Wirtingera pochodzi od Wilhelma Wirtingera (1926), które miało na celu uproszczenie obliczeń wielkości pojawiających się w teorii funkcji kilku zmiennych zespolonych: wynikiem wprowadzenia tych operatorów różniczkowych było znaczące uproszczenie postaci wszystkich operatorów różniczkowych, powszechnie stosowanych w teorii, jakimi są np. operator Leviego, czy operator Cauchy'ego-Riemanna.

Konwencje[edytuj | edytuj kod]

Dalej płaszczyzna zespolona \mathbb C będzie utożsamiana z płaszczyzną euklidesową \mathbb R^2.

W przypadku wielowymiarowym symbol C^n będzie oznaczać przestrzeń euklidesową nad ciałem liczb zespolonych i będzie wykorzystywane następujące utożsamienie:

\mathbb C^n \simeq \mathbb R^{2n} = \bigl\{(\mathbf x, \mathbf y) = (x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_n) \colon \mathbf x, \mathbf y \in \mathbb R^n\bigr\}.

Wówczas \mathbf z \in \mathbb C^n będzie traktowany jako wektor zespolony (\mathbf x, \mathbf y), gdzie \mathbf x oraz \mathbf y są wektorami rzeczywistymi, przy czym n \geqslant 1; ponadto podzbiór \Omega będzie postrzegany jako obszar rzeczywistej przestrzeni euklidesowej \mathbb R^{2n} lub też jej zespolonej odpowiedniczki z nią izomorficznej, \mathbb C^n.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Pochodne Wirtingera definiuje się jako następujące liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}\right), \quad \frac{\partial}{\partial \bar z} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}\right).

W przypadku wielowymiarowym pochodne Wirtingera przyjmuje się, że są to następujące macierzowe liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

\begin{cases} \frac{\partial}{\partial z_1} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial x_1} - i\frac{\partial}{\partial y_1}\right) \\ \qquad\qquad \vdots \\ \frac{\partial}{\partial z_n} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial x_n}- i \frac{\partial}{\partial y_n}\right) \\ \end{cases}
\quad,\quad
\begin{cases} \frac{\partial}{\partial\overline{z_1}} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial x_1} + i \frac{\partial}{\partial y_1}\right) \\ \qquad\qquad \vdots \\ \frac{\partial}{\partial\overline{z_n}} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial}{\partial x_n} + i \frac{\partial}{\partial y_n}\right) \\ \end{cases}.

Naturalną dziedziną definicji tych operatorów różniczkowych cząstkowych jest przestrzeń \operatorname C^1 funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły określonych na obszarze \Omega \subseteq \mathbb R^{2n} dla n \geqslant 1, jednakże ponieważ operatory te są liniowe i mają stałe współczynniki, to mogą być łatwo rozszerzone na każdą przestrzeń funkcji uogólnionych.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Dowody poniższych własności wynikają wprost z przyjętych definicji.

Liniowość

Jeżeli f, g \in \operatorname C^1(\Omega), zaś \alpha, \beta \in \mathbb C, to dla wszystkich i = 1, \dots, n zachodzi następująca równość

\frac{\partial}{\partial z_i} (\alpha f + \beta g)= \alpha\frac{\partial f}{\partial z_i} + \beta\frac{\partial g}{\partial z_i}, \quad \frac{\partial}{\partial\overline{z_i}} (\alpha f + \beta g) = \alpha\frac{\partial f}{\partial\overline{z_i}} + \beta\frac{\partial g}{\partial\overline{z_i}}.
Reguła Leibniza

Jeżeli f, g \in \operatorname C^1(\Omega), to dla wszystkich i = 1, \dots, n zachodzi reguła Leibniza:

\frac{\partial}{\partial z_i} (f \cdot g) = \frac{\partial f}{\partial z_i} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial z_i}, \quad \frac{\partial}{\partial\overline{z_i}} (f \cdot g) = \frac{\partial f}{\partial\overline{z_1}} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial\overline{z_i}}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Zob. Fichera 1986, s. 62
  2. Niektóre podstawowe własności pochodnych Wirtingera pokrywają się z własnościami charakteryzującymi pochodne zwyczajne (lub cząstkowe) używane do konstrukcji zwykłego rachunku różniczkowego.
  3. Z powołaniem się na nazwisko Wilhelma Wirtingera lub nie.
  4. Aldo Andreotti wykorzystuje własności pochodnych Wirtingera w celu wykazania zamkniętości algebry funkcji holomorficznych ze względu na pewne operacje.
  5. Ta książka zawiera pewne własności pochodnych Wirtingera także w przypadku ogólnym funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły.
  6. Zob. Poincaré 1899, s. 111-114
  7. Funkcje te są dokładnie pluriharmonicznymi, a operator różniczkowy liniowy je definiujący, tzn. operator w równaniu 2 w pracy Poincarégo (1899, s. 112), jest n-wymiarowym operatorem pluriharmonicznym.
  8. Zob. Poincaré (1899, s. 112), równanie 2': w pracy tej, zamiast popularniejszego oznaczenia \scriptstyle \partial, to litera \scriptstyle \operatorname d służy jako symbol pochodnej cząstkowej.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

, Zbl 0004.30001 (niem.).