Podłoga i sufit

Podłoga i sufit – w matematyce funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.

Definicja

Podłoga, część całkowita, cecha lub entier (czyt. ãtié) liczby rzeczywistej x, oznaczana $\lfloor x \rfloor$, [x], E(x) lub Ent(x) to największa liczba całkowita nie większa od x. Symbolicznie:

$\lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb Z\colon k \leqslant x \}$

Natomiast sufit lub cecha górna liczby rzeczywistej x to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od x. Liczbę tę oznaczamy symbolem $\lceil x \rceil$. Symbolicznie:

$\lceil x \rceil = \min\{k \in \mathbb Z\colon k \geqslant x\}$

Częścią ułamkową bądź mantysą liczby rzeczywistej x nazywa się liczbę $x - \lfloor x \rfloor$. Oznacza się ją {x}

$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$

Przykłady

$\lfloor 2{,}9 \rfloor = 2, \quad \lfloor -2 \rfloor = -2, \quad \lfloor -2{,}1 \rfloor = -3$.

$\lceil 0 \rceil = 0, \quad \lceil 0{,}3 \rceil = 1, \quad \lceil -0{,}8 \rceil = 0, \quad \lceil -3{,}4 \rceil = -3$.

$\{2{,}567\} = 0{,}567, \quad \{-4{,}23\} =-4{,}23 -(-5)= 0{,}77$.

Nazwy

Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te oznaczane są tradycyjnie symbolami [·], Ent,E dla cechy i {·} dla mantysy.

Nazwy stosowane w tym artykule zostały wprowadzone przez Donalda Knutha, który zaproponował oznaczenie $\lfloor \cdot \rfloor$ dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do sufitu oznaczanego $\lceil \cdot \rceil$. Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami nazw angielskich, odpowiednio: floor (podłoga) oraz ceiling (sufit). Pojęcia te stosowane są szczególnie w informatyce, gdzie pierwsza z nich skracana jest zwykle do flor, druga zaś do ceil tak, aby zachować czteroliterowe oznaczenia.

Własności

Podłoga i sufit

Wykres funkcji podłoga

Wykres funkcji sufit

Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:

$\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1$

$\lceil x \rceil - 1 < x \leqslant \lceil x \rceil$

Ponadto

$\lfloor x \rfloor \leqslant x \leqslant \lceil x \rceil$

przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:

$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$

Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.

Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:

$x \leqslant y \implies \lfloor x \rfloor \leqslant \lfloor y \rfloor$,

$x \leqslant y \implies \lceil x \rceil \leqslant \lceil y \rceil$.

Ponadto:

• $\lfloor x+y \rfloor \geqslant \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$,
• $\lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x \rfloor$ dla dowolnego $k \in \mathbb Z$.

Część ułamkowa

Część ułamkowa należy zawsze do przedziału [0;1), tzn.

$0 \leqslant \{x\} < 1$

dla dowolnej liczby rzeczywistej x

Wykres mantysy

Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako xmod1, gdzie mod jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.

Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym t₀ = 1.

Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:

$\lim_{n \to \infty}{1\over n}\sum_{k=1}^n f(\{ka\}) =\int\limits_0^1 f(t)\,dt$

o ile funkcja f jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.

Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.

Cecha i mantysa logarytmu

Cechę logarytmu liczby dodatniej można odczytać z jej zapisu pozycyjnego o tej samej podstawie co logarytm. Przykładowo cechę logarytmu dziesiętnego odczytujemy z zapisu w systemie dziesiętnym. Sposób odczytu jest następujący:

• Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej.
• Cecha logarytmu liczby dodatniej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. W takiej sytuacji zapisuje się ją zwykle z nadkreśleniem zamiast znaku "−" (pozwala to odróżnić ją od następującej po niej mantysy zapisywanej jako liczba dodatnia).

Mantysa logarytmu to pozostała z niego część po odjęciu cechy. Jest to zawsze liczba z przedziału [0,1).

Przykłady

Mantysa logarytmów liczb postaci 10ⁿ (gdzie n jest całkowite) wynosi 0, np.:

$\begin{array}{rcl} \lg 0,000\;001 & = & \overline 6,000\;000 \\ \lg 0,000\;01 & = & \overline 5,000\;000 \\ \lg 0,000\;1 & = & \overline 4,000\;000 \\ \lg 0,001 & = & \overline 3,000\;000 \\ \lg 0,01 & = & \overline 2,000\;000 \\ \lg 0,1 & = & \overline 1,000\;000 \\ \lg 1 & = & 0,000\;000 \\ \lg 10 & = & 1,000\;000 \\ \lg 100 & = & 2,000\;000 \\ \lg 1\;000 & = & 3,000\;000 \\ \lg 10\;000 & = & 4,000\;000 \\ \lg 100\;000 & = & 5,000\;000 \\ \lg 1\;000\;000 & = & 6,000\;000 \\ \end{array}$

Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:

$\begin{array}{rcl} \lg 0,004\;028 & = & \overline 3,605\;089 \dots \\ \lg 0,040\;28 & = & \overline 2,605\;089 \dots \\ \lg 0,4028 & = & \overline 1,605\;089 \dots \\ \lg 4,028 & = & 0,605\;089 \dots \\ \lg 40,28 & = & 1,605\;089 \dots \\ \lg 4\;028 & = & 3,605\;089 \dots \\ \lg 4\;028\;000 & = & 6,605\;089 \dots \\ \end{array}$