Podbaza
 |
Ten artykuł należy dopracować zgodnie z zaleceniami edycyjnymi: zdanie/sekcja o twierdzeniu Alexandra o podbazie. Po wyeliminowaniu niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu. |
Podbaza przestrzeni topologicznej to taka rodzina zbiorów otwartych tej przestrzeni, że rodzina wszystkich części wspólnych skończonych ilości zbiorów podbazy jest już bazą przestrzeni.
Ściśle biorąc, podane pojęcie podbazy definiuje podbazę otwartą – lecz zwykle o takich właśnie bazach się mówi. Pojęcie podbazy domkniętej podane jest w dalszej części.
Spis treści |
[edytuj] Przykłady
- rodzina wszystkich przedziałów postaci (a, +∞) lub (-∞, a) na osi liczbowej jest podbazą zbioru R liczb rzeczywistych
- rodzina wszystkich półpłaszczyzn otwartych, wraz ze zbiorem pustym, jest podbazą naturalnej (metrycznej) topologii płaszczyzny euklidesowej
[edytuj] Określanie topologii za pomocą podbazy
Dowolną rodzinę podzbiorów danego zbioru można przyjąć za pobazę pewnej topologii, o ile zawiera ona zbiór pusty oraz suma wszystkich zbiorów tej rodziny jest całą przestrzenią. Za zbiory otwarte należy wówczas przyjąć sumy dowolnych ilości skończonych przecięć elementów podbazy.
Na przykład wyróżniając jako podbazę rodzinę wszystkich przedziałów postaci (a, +∞) oraz zbiór pusty określamy pewną topologię w zbiorze liczb rzeczywistych – nie jest to jednak topologia euklidesowa.
[edytuj] Podbaza domknięta
Analogicznie definuje się pojęcie podbazy domkniętej – jest to taka rodzina podzbiorów domkniętych danej przestrzeni, że rodzina sum skończonych ilości elementów podbazy tworzy bazę domkniętą.
