Podgrupa charakterystyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Podgrupa charakterystycznapodgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech G będzie grupą. Podgrupę H \leqslant G nazywa się charakterystyczną, jeżeli dla każdego automorfizmu (bijektywnego homomorfizmu) \varphi grupy G i dla każdego elementu h \in H zachodzi \varphi(h) \in H. Równoważnie: \varphi(H) \sube H, co pociąga za sobą fakt, iż obraz \varphi(H) = H.

Ta właściwość podgrupy H grupy G oznaczana jest symbolem H \blacktriangleleft G lub H\;\operatorname{char}\;G.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Podgrupy charakterystyczne są w szczególności niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, w czwórkowej grupie Kleina V_4 każda podgrupa jest normalna, ale wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne.
  • Jednakże jeśli H \vartriangleleft G i grupa G nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to H musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.

Podgrupa ściśle charakterystyczna[edytuj | edytuj kod]

Podgrupa H nazwana zostanie ściśle charakterystyczną w G, jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest wówczas równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej, jednak w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.

Podgrupa całkowicie charakterystyczna[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli H \leqslant G jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy G, to nazywa się ją podgrupą całkowicie charakterystyczną (CC-podgupą, również całkowicie niezmienniczą albo w pełni charakterystyczną bądź w pełni niezmienniczą). Innymi słowy, jeżeli \varphi\colon G \to G jest dowolnym homomorfizmem, to \varphi(H) \leqslant H.

W każdej grupie zawierają się dwie całkowicie charakterystyczne grupy niewłaściwe: cała grupa oraz podgrupa trywialna. Każda całkowicie charakterystyczna grupa jest grupą ściśle charakterystyczną, a więc podgrupą charakterystyczną. Komutant grupy zawsze jest grupą całkowicie charakterystyczną. Ogólniej, każda podgrupa werbalna jest zawsze całkowicie charakterystyczna. Dla dowolnej zredukowanej grupy wolnej, a w szczególności dla każdej grupy wolnej, prawdziwe jest twierdzenie odwrotne — każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest werbalna.

Grupa elementarna[edytuj | edytuj kod]

Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna.
  • Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną.
  • Jeśli G jest grupą skończoną, H jest jej podgrupą normalną oraz \operatorname{NWD}(|H|, |G/H|)=1, to H \blacktriangleleft G.

Przechodniość[edytuj | edytuj kod]

Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli H jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą G, a G (całkowicie) charakterystyczną podgrupą E, to H jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą E.

Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli:

H \blacktriangleleft G \vartriangleleft E \implies H \vartriangleleft E, w szczególności zaś H \vartriangleleft G.

Podobnie nie jest prawdą, iż każda ściśle charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej danej grupy jest w niej ściśle charakterystyczna, to jest prawdą, że każda całkowicie charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna w całej grupie.

Relacja między tymi własnościami może być zobrazowana za pomocą następującego diagramu:

podgrupapodgrupa normalna ← podgrupa charakterystyczna ← podgrupa ściśle charakterystyczna ← podgrupa całkowicie charakterystyczna.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.
  • Jeżeli G jest grupą, wówczas grupy generowane odpowiednio przez zbiory: G_k = \{a \in G\colon a^k = 1\} oraz G^k = \{a^k\in G\colon a \in G\},\; k\in\mathbb{N} są podgrupami charakterystycznymi grupy G.
  • Niech dana będzie grupa G = S_3 \times \mathbb Z_2 (rzędu 12 będącą produktem prostym grupy symetrycznej rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum G jest jej drugi czynnik, \mathbb Z_2. Pierwszy czynnik S_3 zawiera podgrupę izomorficzną z \mathbb Z_2, np. \{\operatorname{id}, (12)\}. Niech \varphi\colon \mathbb Z_2 \to S_3 będzie homomorfizmem we wskazaną podgrupę. Wówczas złożenie rzutu G na jej drugi współczynnik \mathbb Z_2 z \varphi oraz włożeniem S_3 w G (jako pierwszy współczynnik) daje endomorfizm G w którym obraz centrum \mathbb Z_2 nie zawiera się w centrum, a zatem centrum nie jest całkowicie charakterystyczną podgrupą grupy G.
  • Komutant dowolnej grupy G jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną, gdyż jest on podgrupą werbalną (generowaną przez wszystkie wyrażenia określonej postaci – komutatory). Dla każdego automorfizmu \sigma \in \operatorname{Aut}(G) i dla każdego x, y \in G zachodzi \sigma([x, y]) = [\sigma(x), \sigma(y)].
  • Część torsyjna (największa podgrupa torsyjna) grupy abelowej jest podgrupą całkowicie charakterystyczną.
  • Przykładami grup elementarnych są grupy addytywne przestrzeni wektorowych nad ciałami skończonymi.

Przekształcenia grupy auto- i endomorfizmów[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli H \blacktriangleleft G, to każdy automorfizm G indukuje automorfizm na grupie ilorazowej G/H, istnieje stąd przekształcenie \operatorname{Aut}\,G \to \operatorname{Aut}\, G/H.

Jeżeli H jest podgrupą całkowicie charakterystyczną w G, to analogicznie: każdy endomorfizm G indukuje endomorfizm G/H, który daje przekształcenie \operatorname{End}\,G \to \operatorname{End}\, G/H.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński: Wstęp do teorii grup. SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  • M. I. Kargapołow, J. I. Mierzliakow: Podstawy teorii grup. PWN, 1976.
  • W. R. Scott: Group Theory. Dover, 1987, s. 45-46. ISBN 0-486-65377-3.
  • W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar: Combinatorial Group Theory. Dover, 2004, s. 74-85. ISBN 0-486-43830-9.