Podgrupa normalna

Podgrupa normalna (niezmiennicza, dzielnik normalny) – rodzaj podgrupy umożliwiający badanie struktury grupy poprzez grupy ilorazowe, w których podgrupa ta jest utożsamiana z elementem neutralnym.

Zwykle struktury ilorazowe można utworzyć wyłącznie za pomocą relacji równoważności. W teorii grup taka relacja wyznacza jednak pewną strukturę (właśnie podgrupę normalną), która umożliwia jednoznaczną konstrukcję grup ilorazowych. Tak więc korzysta się wyłącznie ze środków algebraicznych nie posiłkując się przy tym ogólną teorią mnogości. Podobna sytuacja w ogólności jest rzadka: zachodzi wyłącznie w teorii pierścieni – pierścień ilorazowy wyznaczany jest jednoznacznie przez pewien ideał (każdy ideał jest podgrupą normalną w grupie addytywnej pierścienia).

Definicje

Podgrupę $N$ grupy $G$ nazywa się podgrupą normalną, jeśli wszystkie jej warstwy lewostronne równają się odpowiadającym im warstwom prawostronnym, tzn. gdy $gN = Ng$ dla wszystkich $g \in G$. Fakt ten oznacza się symbolem $N \trianglelefteq G$.

Warunki równoważne

Niech $N$ będzie podgrupą grupy $G$. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) $N$ jest podgrupą normalną,

(ii) zbiory warstw lewo- i prawostronnych $N$ w $G$ są równe, czyli $G/H = G \backslash H$,

(iii) relacja równoważności $\sim$ na zbiorze $G$ określona wzorem

$a \sim b \overset\underset\mathrm{def}\ \iff ab^{-1} \in N$

jest zgodna z działaniem w grupie $G$, czyli dla wszystkich $a, b, c, d \in G$

$(a \sim b) \and (c \sim d) \Rightarrow (ac) \sim (bd)$,

(iii') relacja równoważności $\backsim$ na zbiorze $G$ określona wzorem

$a \backsim b \overset\underset\mathrm{def}\ \iff a^{-1}b \in N$

jest zgodna z działaniem w grupie $G$, czyli dla wszystkich $a, b, c, d \in G$

$(a \backsim b) \and (c \backsim d) \Rightarrow (ac) \backsim (bd)$,

(iv) dla każdego $g \in G$ zachodzi $gNg^{-1} \subseteq N$,

(iv') dla każdego $g \in G$ zachodzi $g^{-1}Ng \subseteq N$,

(v) dla każdego $g \in G$ zachodzi $gNg^{-1} = N$,

(v') dla każdego $g \in G$ zachodzi $g^{-1}Ng = N$,

(vi-vi') grupa $N$ jest niezmiennicza ze względu na sprzężenia, czyli

$\varphi(N) = N$ dla $\varphi(n) = gng^{-1}$ dla dowolnego $g \in G$

lub

$\psi(N) = N$ dla $\psi(n) = g^{-1}ng$ dla dowolnego $g \in G$,

(vii) $N$ jest sumą klas sprzężoności $G$,

(viii) istnieje pewien homomorfizm określony na $G$, którego jądrem jest $N$.

Każdy z powyższych warunków może być przyjęty za definicję normalności podgrupy.

Niektórzy autorzy używają oznaczenia $\operatorname{NSub}\; G$ dla rodziny wszystkich podgrup normalnych grupy $G$ (od ang. Normal Subgroup).

Uwagi

Podgrupy trywialne grupy $G$, czyli zawarte w niej grupa trywialna oraz cała grupa $G$, są w niej normalne – nazywa się je trywialnymi podgrupami normalnymi. Nietrywialne podgrupy normalne grupy $G$ nazywa się właściwymi podgrupami normalnymi i oznacza czasem za pomocą symbolu $\vartriangleleft$. Grupa, która nie ma właściwych podgrup normalnych nazywa się grupą prostą.

Podgrupy normalne są niezmiennicze ze względu na działanie całej grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne. Podgrupy niezmiennicze ze względu na wszystkie automorfizmy nazywa się podgrupami charakterystycznymi.

Własności

• Normalność jest zachowywana przy epimorfizmach (suriektywnych homomorfizmach), a także braniu przeciwobrazów.
• Normalność jest zachowywana przy braniu iloczynów prostych.
• Podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy nie musi być normalna w tej grupie, tzn. normalność nie jest relacją przechodnią. Jednakże podgrupa charakterystyczna podgrupy normalnej jest normalna w grupie. Również podgrupa normalna czynnika centralnego jest normalna w grupie. W szczególności podgrupa normalna czynnika prostego jest normalna w całej grupie.
• Każda podgrupa indeksu 2 jest normalna:

  jeżeli $|G:H| = 2$, to $H$ jest podgrupą normalną w $G$ (istnieją wyłącznie dwie warstwy lewostronne jak i prawostronne: izomorficzne z $H$ oraz z $G \setminus H$ – dopełnieniem $H$, stąd $eH = He \simeq H$, co oznacza, że $H$ jest normalna).

Ogólniej, podgrupa $H$ taka, że $|G:H| = n$ zawiera podgrupę $K$ normalną w $G$ indeksu dzielącego $n!$ nazywaną rdzeniem normalnym (ang. normal core). W szczególności jeżeli $p$ jest najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą rząd $G$, to każda podgrupa o indeksie $p$ jest normalna.

Krata

Podgrupy normalne w $G$ tworzą kratę ze względu na zawieranie zbiorów o elemencie najmniejszym $\{e\}$ i największym $G$. Dla danych dwóch podgrup normalnych $M, N$ ich infimum określone jest jako ich przekrój (zawsze jest podgrupą):

$N \wedge M := N \cap M$,

a supremum dane jest jako grupa generowana przez te podgrupy (również zawsze jest podgrupą):

$N \vee M := \langle N, M \rangle;$

w przypadku grup przemiennych $\langle N, M \rangle$ jest równe iloczynowi kompleksowemu $NM = \{nm\colon n \in N, m \in M\},$ dlatego przyjmuje się wtedy zwykle po prostu $N \vee M := NM.$

Związek z homomorfizmami

Podgrupy normalne są ważne ze względu na fakt, iż jeżeli $N$ jest normalna w $G$, to można skonstruować z niej grupę ilorazową $G/N$: mnożenie na warstwach określone jest wzorem

$(aN)(bN) := (ab)N$.

Niech $e$ oznacza element neutralny grupy. Istnieje naturalny homomorfizm $f\colon G \to G/N$ dany wzorem $f(a) = aN$. Obraz $f(N)$ składa się wyłącznie z elementu neutralnego $G/N$, warstwy $eN = N$.

W ogólności homomorfizm grup $f\colon G \to H$ przeprowadza podgrupy $G$ na podgrupy $H$, również przeciwobraz dowolnej podgrupy w $H$ jest podgrupą w $G$. Przeciwobraz podgrupy trywialnej $\{e\}$ w $H$ nazywa się jądrem homomorfizmu $f$ i oznacza symbolem $\ker(f)$. Okazuje się, że jądro jest zawsze podgrupą normalną, a obraz $f(G)$ jest zawsze izomorficzny z $G/\ker(f)$ (pierwsze twierdzenie o izomorfizmie). Rzeczywiście, odpowiedniość ta jest bijekcją między zbiorem wszystkich grup ilorazowych $G/N$ w $G$ a zbiorem wszystkich obrazów homomorficznych $G$ (co do izomorfizmu). Jądrem odwzorowania ilorazowego, $f\colon G \to G/N$ jest samo $N$, a więc podgrupy normalne są dokładnie jądrami homomorfizmów o dziedzinie $G$.

Przykłady

• W dowolnej grupie przemiennej każda jej podgrupa jest normalna. Grupy w których każda podgrupa jest normalna nazywane są grupami Hamiltona, istnieją nieprzemienne grupy tego rodzaju.
• Podgrupa obrotów $J_n = \langle a \rangle$ jest normalna grupie izometrii wielokąta foremnego $D_n = \langle a, b \rangle$, gdzie $a$ jest obrotem, $b$ – dowolną symetrią osiową, $n$ – liczbą wierzchołków wielokąta (podgrupa ta jest nawet charakterystyczna).
• Podgrupa alternująca $A_n$ grupy symetrycznej $S_n$ jest w niej normalna, ponieważ $|S_n:A_n| = 2$ dla każdego $n \in \mathbb N$.

Bibliografia

• A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005;
• Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.
• K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1989, ISBN 83-01-08595-9

Zobacz też

• podgrupa charakterystyczna,
• warstwa,
• grupa ilorazowa,
• grupa Hamiltona.