Podgrupa normalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Podgrupa normalna (niezmiennicza, dzielnik normalny) – rodzaj podgrupy umożliwiający badanie struktury grupy poprzez grupy ilorazowe, w których podgrupa ta jest utożsamiana z elementem neutralnym.

Zwykle struktury ilorazowe można utworzyć wyłącznie za pomocą relacji równoważności. W teorii grup taka relacja wyznacza jednak pewną strukturę (właśnie podgrupę normalną), która umożliwia jednoznaczną konstrukcję grup ilorazowych. Tak więc korzysta się wyłącznie ze środków algebraicznych nie posiłkując się przy tym ogólną teorią mnogości. Podobna sytuacja w ogólności jest rzadka: zachodzi wyłącznie w teorii pierścienipierścień ilorazowy wyznaczany jest jednoznacznie przez pewien ideał (każdy ideał jest podgrupą normalną w grupie addytywnej pierścienia).

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Podgrupę N grupy G nazywa się podgrupą normalną, jeśli wszystkie jej warstwy lewostronne równają się odpowiadającym im warstwom prawostronnym, tzn. gdy gN = Ng dla wszystkich g \in G. Fakt ten oznacza się symbolem N \trianglelefteq G.

Warunki równoważne[edytuj | edytuj kod]

Niech N będzie podgrupą grupy G. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) N jest podgrupą normalną,
(ii) zbiory warstw lewo- i prawostronnych N w G są równe, czyli G/H = G \backslash H,
(iii) relacja równoważności \sim na zbiorze G określona wzorem
a \sim b \overset\underset\mathrm{def}\ \iff ab^{-1} \in N
jest zgodna z działaniem w grupie G, czyli dla wszystkich a, b, c, d \in G
(a \sim b) \and (c \sim d) \Rightarrow (ac) \sim (bd),
(iii') relacja równoważności \backsim na zbiorze G określona wzorem
a \backsim b \overset\underset\mathrm{def}\ \iff a^{-1}b \in N
jest zgodna z działaniem w grupie G, czyli dla wszystkich a, b, c, d \in G
(a \backsim b) \and (c \backsim d) \Rightarrow (ac) \backsim (bd),
(iv) dla każdego g \in G zachodzi gNg^{-1} \subseteq N,
(iv') dla każdego g \in G zachodzi g^{-1}Ng \subseteq N,
(v) dla każdego g \in G zachodzi gNg^{-1} = N,
(v') dla każdego g \in G zachodzi g^{-1}Ng = N,
(vi-vi') grupa N jest niezmiennicza ze względu na sprzężenia, czyli
\varphi(N) = N dla \varphi(n) = gng^{-1} dla dowolnego g \in G
lub
\psi(N) = N dla \psi(n) = g^{-1}ng dla dowolnego g \in G,
(vii) N jest sumą klas sprzężoności G,
(viii) istnieje pewien homomorfizm określony na G, którego jądrem jest N.

Każdy z powyższych warunków może być przyjęty za definicję normalności podgrupy.

Niektórzy autorzy używają oznaczenia \operatorname{NSub}\; G dla rodziny wszystkich podgrup normalnych grupy G (od ang. Normal Subgroup).

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Podgrupy trywialne grupy G, czyli zawarte w niej grupa trywialna oraz cała grupa G, są w niej normalne – nazywa się je trywialnymi podgrupami normalnymi. Nietrywialne podgrupy normalne grupy G nazywa się właściwymi podgrupami normalnymi i oznacza czasem za pomocą symbolu \vartriangleleft. Grupa, która nie ma właściwych podgrup normalnych nazywa się grupą prostą.

Podgrupy normalne są niezmiennicze ze względu na działanie całej grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne. Podgrupy niezmiennicze ze względu na wszystkie automorfizmy nazywa się podgrupami charakterystycznymi.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Ogólniej, podgrupa H taka, że |G:H| = n zawiera podgrupę K normalną w G indeksu dzielącego n! nazywaną rdzeniem normalnym (ang. normal core). W szczególności jeżeli p jest najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą rząd G, to każda podgrupa o indeksie p jest normalna.

Krata[edytuj | edytuj kod]

Podgrupy normalne w G tworzą kratę ze względu na zawieranie zbiorów o elemencie najmniejszym \{e\} i największym G. Dla danych dwóch podgrup normalnych M, N ich infimum określone jest jako ich przekrój (zawsze jest podgrupą):

N \wedge M := N \cap M,

a supremum dane jest jako grupa generowana przez te podgrupy (również zawsze jest podgrupą):

N \vee M := \langle N, M \rangle;

w przypadku grup przemiennych \langle N, M \rangle jest równe iloczynowi kompleksowemu NM = \{nm\colon n \in N, m \in M\}, dlatego przyjmuje się wtedy zwykle po prostu N \vee M := NM.

Związek z homomorfizmami[edytuj | edytuj kod]

Podgrupy normalne są ważne ze względu na fakt, iż jeżeli N jest normalna w G, to można skonstruować z niej grupę ilorazową G/N: mnożenie na warstwach określone jest wzorem

(aN)(bN) := (ab)N.

Niech e oznacza element neutralny grupy. Istnieje naturalny homomorfizm f\colon G \to G/N dany wzorem f(a) = aN. Obraz f(N) składa się wyłącznie z elementu neutralnego G/N, warstwy eN = N.

W ogólności homomorfizm grup f\colon G \to H przeprowadza podgrupy G na podgrupy H, również przeciwobraz dowolnej podgrupy w H jest podgrupą w G. Przeciwobraz podgrupy trywialnej \{e\} w H nazywa się jądrem homomorfizmu f i oznacza symbolem \ker(f). Okazuje się, że jądro jest zawsze podgrupą normalną, a obraz f(G) jest zawsze izomorficzny z G/\ker(f) (pierwsze twierdzenie o izomorfizmie). Rzeczywiście, odpowiedniość ta jest bijekcją między zbiorem wszystkich grup ilorazowych G/N w G a zbiorem wszystkich obrazów homomorficznych G (co do izomorfizmu). Jądrem odwzorowania ilorazowego, f\colon G \to G/N jest samo N, a więc podgrupy normalne są dokładnie jądrami homomorfizmów o dziedzinie G.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]