Podkowa Smale'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Podkowa Smale'a (odwzorowanie Smale'a)
klasyk teorii chaosu, typ odwzorowania symulujący chaotyczne zginanie, wymyślony przez Stephena Smale’a w drugiej połowie lat 60. XX wieku[1].

Stephen Smale wymyślił strukturę podkowy w trakcie badań nad wymuszonym oscylatorem van der Pola. Uzyskał wówczas modelowy układ o podobnej geometrii, ale prostszym równaniu. Dzięki podkowie Smale był w stanie badać chaotyczne zachowania układów dynamicznych. Później używał jej do objaśniania wysnutych przez niego wniosków. Jego badania zapoczątkowały lawinę pomysłów dotyczących teorii układów dynamicznych, które, gdyby nie odwzorowanie podkową, uważane obecnie za ikonę teorii chaosu, nie miałyby racji bytu.

Podkowę Smale’a możemy spotkać przy okazji badań nad odwzorowaniami Poincarégo oraz jako przykład dziwnego atraktora w matematyce chaosu.

Na czym polega odwzorowanie podkową?[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli kwadrat jednostkowy M=[0,1]x[0,1]

200×250px


rozciągniemy liniowo wzdłuż jednej współrzędnej i ściągniemy wzdłuż drugiej współrzędnej,

tworząc prostokąt, który następnie złożymy, zaginając go do środka w połowie

200×500px


to otrzymamy podkowę:

200×300px


którą umieszczamy w wyjściowym kwadracie.

Podkowa Smale'a4.JPG


Teraz możemy iterować (powtarzać) ten proces w nieskończoność.

Podkowa Smale'a5.JPG


Otrzymujemy zawiłą pogiętą podkowę, coś w rodzaju nieskończenie wijącej się, ograniczonej krzywej.

Cechy podkowy Smale'a[edytuj | edytuj kod]

  1. Obserwując tylko jeden dowolny punkt kwadratu M poddanego kolejnym iteracjom, stwierdzimy, że zawsze znajduje się on na wijącej się krzywej, ponadto, ze względu na jej skomplikowany kształt, możliwy ruch tego punktu jest praktycznie przypadkowy (chaotyczny).
  2. Podkowa ma taką samą nieskończenie wielowarstwową strukturę, jaka pojawia się w atraktorze Lorenza.
  3. Podkowa jest blisko związana ze zbiorem Cantora. W ustalonych warunkach daje się lokalnie opisywać jako produkt „linia x zbiór Cantora”.
  4. Podkowę Smale’a, dzięki jej prostocie, można badać posługując się geometrią i topologią, w przeciwieństwie do innych układów chaotycznych. Ta cecha umożliwiła rozwój matematyki chaosu.
  5. Henri Poincaré, badając problem trzech ciał, otrzymał homokliniczną plątaninę, sieć nieskończenie wielu punktów przecięcia się trajektorii w przekroju dwuwymiarowego układu dynamicznego [2]. W 1967 roku Smale udowodnił, że z istnienia przecięcia homoklinicznego wynika dynamika typu odwzorowanie podkową [3].
Wikimedia Commons

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. [S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967)]
  2. w dynamice hamiltonowskiej (dynamika takich układów, w których nie występuje tarcie)
  3. z tym, że układ Smale’a może pojawiać się również w układach dyssypatywnych (takich, w których tarcie występuje)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • I. N. Bronsztyn, K. A. Siemiendiajew, G. Musiol, H. Mühlig: Nowoczesne kompendium matematyki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
  • Ian Stewart: Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu.. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996.
  • Justyna Signerska: Podkowa Smale'a jako klasyk chaosu.
  • Stępień Łukasz: Multifraktale. Recepta na chaos..