Podnoszenie i opuszczanie wskaźników

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

W matematyce i fizyce matematycznej dla danego tensora z rozmaitości M z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) można podnieść lub opuścić jego wskaźniki, czyli zmienić tensor wymiaru (k, l) na tensor wymiaru (k + 1, l - 1) (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru (k - 1, l + 1) (opuścić indeks).

Wyniki te można osiągnąć poprzez mnożenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a następnie skrócenie wyniku. Mnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skrócenie) podnosi wskaźniki:

g^{ij} A_j = A^i,

a mnożenie przez kowariantny tensor metryczny (i skrócenie) opuszcza je:

g_{ij} A^j = A_i.

Operacje podniesienia i następującego po nim opuszczenia tego samego wskaźnika (lub odwrotnie) są do siebie odwrotne, co odzwierciedla odwrotność kowariantnych i kontrawariantnych tensorów metrycznych:

g^{ij} g_{jk} = g_{kj}g^{ji} = \delta_k^i,

gdzie \deltadelta Kroneckera odpowiadająca macierzy jednostkowej.

Należy zauważyć, że nieosobliwość formy nie jest wymagana do opuszczenia wskaźnika, ale uzyskanie do formy do niej odwrotnej (dającej podniesienie wskaźnika) już jej wymaga.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]