Podobieństwo

Definicja intuicyjna:
figury podobne to figury mające ten sam kształt, ale mogące różnić się wielkością.

Podobieństwo – przekształcenie geometryczne zachowujące stosunek odległości punktów. Także relacja równoważności utożsamiająca figury geometryczne, które nazywane są wtedy podobnymi, o ile istnieje podobieństwo przeprowadzające jedną na drugą.

Definicja

Podobieństwo to przekształcenie przestrzeni metrycznej $(X,d)\,$ na siebie spełniające dla dowolnych dwóch punktów $M, N\,$ i pewnej liczby $k > 0\,$ zależność:

$d(M',N') = k\cdot d(M,N)$.

gdzie punkty $M', N'\,$ są obrazami punktów odpowiednio $M, N\,$, a $d\,$ – metryką (odległością) dwóch dowolnych punktów zbioru $X\,$.

Liczbę $k\,$ nazywa się skalą bądź stosunkiem podobieństwa.

Gdy $k=1$, podobieństwo jest izometrią.

W szczególności $X\,$ może być prostą, płaszczyzną lub przestrzenią trójwymiarową ze zwykłą odległością euklidesową.

Podobieństwem nazywa się również relację równoważności zdefiniowaną następująco:

dwie figury są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą.

Często fakt podobieństwa figur $\;A$ i $\;B$ oznacza się symbolicznie jako $\;A \sim B$.

Przykłady

Figury podobne zaznaczono tym samym kolorem

Figurami podobnymi są dowolne dwa odcinki, dwa okręgi, koła, sfery, kule, wielokąty foremne o tej samej liczbie boków, wielościany foremne o tej samej liczbie ścian, parabole.

Własności

• Złożenie podobieństw o skalach $k_1, k_2$ jest podobieństwem o skali $k_1 k_2$
• Przekształcenie odwrotne do podobieństwa o skali $k$ jest podobieństwem o skali $\tfrac{1}{k}$.
• Dowolne podobieństwo przestrzeni euklidesowej jest złożeniem izometrii i jednokładności o skali równej skali podobieństwa.
• Dowolne podobieństwo nie będące izometrią ma dokładnie jeden punkt stały przekształcenia.

Z definicji oraz powyższych własności wynika, że w figurach podobnych w przestrzeniach euklidesowych:

• stosunek długości odpowiadających sobie odcinków jest równy skali podobieństwa,
• odpowiadające sobie kąty są przystające,
• stosunek pól figur płaskich jest równy kwadratowi skali podobieństwa,
• stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa.

Podobieństwa tworzą grupę przekształceń geometrycznych. Niezmienniki określające jednoznacznie grupę podobieństw:

• stosunek długości odcinków,
• równość odcinków,
• miara kąta,
• prostokąt,
• okrąg, koło,
• sfera, kula.

Zobacz też

• przystawanie
• proporcjonalność
• indeks Jaccarda
• odległość Hamminga (podobieństwo ciągów)