Podzbiór

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram Eulera: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech A, B będą zbiorami. Jeżeli każdy element x \in A jest jednocześnie elementem B, to zbiór A nazywa się podzbiorem zbioru B. W zapisie logicznym:

A \subseteq B \,\or \,A \subsetneq B \iff \forall_{x \in A}\ x \in B,

inaczej fakt ten można wyrazić jako

A \subseteq B \, \or \,A \subsetneq B \iff (x \in A \Rightarrow x \in B).

Jeżeli A jest podzbiorem B, to sam zbiór B nazywa się nadzbiorem zbioru A i oznacza B \supseteq A.

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru B należy do A, to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór A zbioru B nazywa się niewłaściwym. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc B \subseteq B. W przeciwnym wypadku, czyli gdy A \subseteq B oraz A \ne B, zbiór A nazywa się podzbiorem właściwym zbioru B i oznacza A \subsetneq B. Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Zapis[edytuj | edytuj kod]

W starszych pozycjach (np. u Kuratowskiego[1]) do oznaczenia bycia podzbiorem bądź nadzbiorem wykorzystywane były jedynie symbole \subset oraz \supset, a fakt bycia podzbiorem (nadzbiorem) właściwym zaznaczany był obok. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków \subseteq i \supseteq na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości) pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych[2]. Ponieważ część autorów przyjęła nową konwencję, a część z nich pozostała przy starych oznaczeniach, znaczenie symboli \subset i \supset nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole \subsetneq i \supsetneq na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

Zawieranie[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego zbioru K prawdziwe jest zdanie:

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów K, L, M zachodzą następujące fakty:

  • dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),
    K \subseteq K,
  • zbiory, które są swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe (antysymetria),
    K \subseteq L \wedge L \subseteq K \Rightarrow K = L,
  • podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),
    K \subseteq L \wedge L \subseteq M \Rightarrow K \subseteq M.

Relacja \subseteq jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją. Dlatego też dla danych zbiorów A, B pozostających z sobą w relacji A \subseteq B mówi się obok „A jest podzbiorem B”, że A zawiera się bądź jest zawarty w B. Analogiczne wyrażenie B \supseteq A obok „B jest nadzbiorem A” czyta się B zawiera A.

Relacja \supseteq ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściwe[edytuj | edytuj kod]

Podobnie rzecz ma się z relacjami \subsetneq oraz \supsetneq, które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również są relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów K, L, M:

  • żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),
    \lnot(K \subsetneq K),
  • podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),
    K \subsetneq L \wedge L \subsetneq M \Rightarrow K \subsetneq M.

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

  • podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),
    K \subsetneq L \Rightarrow \lnot (L \subsetneq K).

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • zbiór \{1, 3, 4\} jest podzbiorem (właściwym) zbioru \{1, 2, 3, 4\},
  • zbiór \{1, 2, 3, 4\} zawiera się w \{1, 2, 3, 4\},
  • zbiór \{1, 2, 4, 5\} nie jest podzbiorem zbioru \{1, 2, 3, 4\},
  • zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
  • zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
  • zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. drugie, zmienione. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1962, s. 21.
  2. Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w relacjach porządku, np. \scriptstyle <, \leqslant, >, \geqslant.