Podzbiór

Diagram Eulera: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Definicja

Niech $A, B$ będą zbiorami. Jeżeli każdy element $x \in A$ jest jednocześnie elementem $B$, to zbiór $A$ nazywa się podzbiorem zbioru $B$. W zapisie logicznym:

$A \subseteq B \,\or \,A \subsetneq B \iff \forall_{x \in A}\ x \in B$,

inaczej fakt ten można wyrazić jako

$A \subseteq B \, \or \,A \subsetneq B \iff (x \in A \Rightarrow x \in B)$.

Jeżeli $A$ jest podzbiorem $B$, to sam zbiór $B$ nazywa się nadzbiorem zbioru $A$ i oznacza $B \supseteq A$.

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru $B$ należy do $A$, to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór $A$ zbioru $B$ nazywa się niewłaściwym. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc $B \subseteq B$. W przeciwnym wypadku, czyli gdy $A \subseteq B$ oraz $A \ne B$, zbiór $A$ nazywa się podzbiorem właściwym zbioru $B$ i oznacza $A \subsetneq B$. Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Zapis

W starszych pozycjach (np. u Kuratowskiego) do oznaczenia bycia podzbiorem bądź nadzbiorem wykorzystywane były jedynie symbole $\subset$ oraz $\supset$, a fakt bycia podzbiorem (nadzbiorem) właściwym zaznaczany był obok. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków $\subseteq$ i $\supseteq$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości) pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych. Ponieważ część autorów przyjęła nową konwencję, a część z nich pozostała przy starych oznaczeniach, znaczenie symboli $\subset$ i $\supset$ nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole $\subsetneq$ i $\supsetneq$ na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

Zawieranie

Dla dowolnego zbioru $K$ prawdziwe jest zdanie:

• zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru (element najmniejszy),

  $\varnothing \subsetneq K$.

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów $K, L, M$ zachodzą następujące fakty:

• dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),

  $K \subseteq K$,

• zbiory, które są swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe (antysymetria),

  $K \subseteq L \wedge L \subseteq K \Rightarrow K = L$,

• podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),

  $K \subseteq L \wedge L \subseteq M \Rightarrow K \subseteq M$.

Relacja $\subseteq$ jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją. Dlatego też dla danych zbiorów $A, B$ pozostających z sobą w relacji $A \subseteq B$ mówi się obok „$A$ jest podzbiorem $B$”, że $A$ zawiera się bądź jest zawarty w $B$. Analogiczne wyrażenie $B \supseteq A$ obok „$B$ jest nadzbiorem $A$” czyta się $B$ zawiera $A$.

Relacja $\supseteq$ ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściwe

Podobnie rzecz ma się z relacjami $\subsetneq$ oraz $\supsetneq$, które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również są relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów $K, L, M$:

• żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),

  $\lnot(K \subsetneq K)$,

• podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),

  $K \subsetneq L \wedge L \subsetneq M \Rightarrow K \subsetneq M$.

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

• podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),

  $K \subsetneq L \Rightarrow \lnot (L \subsetneq K)$.

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

Przykłady

• zbiór $\{1, 3, 4\}$ jest podzbiorem (właściwym) zbioru $\{1, 2, 3, 4\}$,
• zbiór $\{1, 2, 3, 4\}$ zawiera się w $\{1, 2, 3, 4\}$,
• zbiór $\{1, 2, 4, 5\}$ nie jest podzbiorem zbioru $\{1, 2, 3, 4\}$,
• zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
• zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
• zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005.

Zobacz też

• Teoria mnogości
• Zanurzenie (matematyka)