Pokrycie zbioru

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pokrycie zbioru – dowolna rodzina zbiorów przestrzeni zawierającej dany zbiór taka, że zbiór ten jest zawarty w sumie elementów tej rodziny.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal K będzie niepustą rodziną zbiorów oraz K \in \mathcal K. Pokryciem zbioru K nazywamy każdą rodzinę \mathcal A \subseteq \mathcal K taką, że K \subseteq \bigcup \mathcal A.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Często w powyższej definicji żąda się, aby K = \bigcup \mathcal A. W dalszej części artykułu posłużymy się definicją pokrycia z tym właśnie warunkiem.

Topologia[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie pokrycia jest używane zwykle w kontekście topologii.

Jeśli (X, \mathcal T) jest przestrzenią topologiczną, to mówimy, że pokrycie \mathcal C \subseteq 2^X jest pokryciem otwartym, gdy każdy element C \in \mathcal C jest zbiorem otwartym, innymi słowy:

\bigwedge_{C \in \mathcal C}\; C \in \mathcal T.

Mówimy, że pokrycie \mathcal D \subseteq 2^X jest pokryciem domkniętym, gdy każdy element D \in \mathcal D jest zbiorem domkniętym, innymi słowy:

\bigwedge_{D \in \mathcal D}\; X\setminus D \in \mathcal T.

Pokrycia wpisane i podpokrycia[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathcal{A}=(A_s)_{s\in S}, \mathcal{B}=(B_t)_{t\in T} będą pokryciami zbioru X. Mówimy, że pokrycie \mathcal{A} jest wpisane w pokrycie \mathcal{B}, jeśli

\bigwedge_{s\in S}\bigvee_{t_s\in T} A_s\subseteq B_{t_s}.

Pokrycie \mathcal{A}^\prime=(A^\prime_s)_{s\in S^\prime} nazywamy podpokryciem pokrycia \mathcal{A}=(A_s)_{s\in S} jeśli:

S^\prime\subset S \wedge [s\in S^\prime \Rightarrow A_s^\prime = A_s].

Każde podpokrycie danego pokrycia jest w nie wpisane.

Pokrycie skończone[edytuj | edytuj kod]

Pokrycie \mathcal{A}=(A_s)_{s\in S} nazywa się skończonym jeśli S jest zbiorem skończonym (typowo wówczas S = \{1, 2, \dots n\} dla pewnego naturalnego n).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]