Pokrycie zbioru

Pokrycie zbioru – dowolna rodzina zbiorów przestrzeni zawierającej dany zbiór taka, że zbiór ten jest zawarty w sumie elementów tej rodziny.

Definicja

Niech $\mathcal K$ będzie niepustą rodziną zbiorów oraz $K \in \mathcal K$. Pokryciem zbioru $K$ nazywamy każdą rodzinę $\mathcal A \subseteq \mathcal K$ taką, że $K \subseteq \bigcup \mathcal A$.

Uwaga

Często w powyższej definicji żąda się, aby $K = \bigcup \mathcal A$. W dalszej części artykułu posłużymy się definicją pokrycia z tym właśnie warunkiem.

Topologia

Pojęcie pokrycia jest używane zwykle w kontekście topologii.

Jeśli $(X, \mathcal T)$ jest przestrzenią topologiczną, to mówimy, że pokrycie $\mathcal C \subseteq 2^X$ jest pokryciem otwartym, gdy każdy element $C \in \mathcal C$ jest zbiorem otwartym, innymi słowy:

$\bigwedge_{C \in \mathcal C}\; C \in \mathcal T$.

Mówimy, że pokrycie $\mathcal D \subseteq 2^X$ jest pokryciem domkniętym, gdy każdy element $D \in \mathcal D$ jest zbiorem domkniętym, innymi słowy:

$\bigwedge_{D \in \mathcal D}\; X\setminus D \in \mathcal T$.

Pokrycia wpisane i podpokrycia

Niech $\mathcal{A}=(A_s)_{s\in S}, \mathcal{B}=(B_t)_{t\in T}$ będą pokryciami zbioru $X$. Mówimy, że pokrycie $\mathcal{A}$ jest wpisane w pokrycie $\mathcal{B}$, jeśli

$\bigwedge_{s\in S}\bigvee_{t_s\in T} A_s\subseteq B_{t_s}$.

Pokrycie $\mathcal{A}^\prime=(A^\prime_s)_{s\in S^\prime}$ nazywamy podpokryciem pokrycia $\mathcal{A}=(A_s)_{s\in S}$ jeśli:

$S^\prime\subset S \wedge [s\in S^\prime \Rightarrow A_s^\prime = A_s]$.

Każde podpokrycie danego pokrycia jest w nie wpisane.

Pokrycie skończone

Pokrycie $\mathcal{A}=(A_s)_{s\in S}$ nazywa się skończonym jeśli $S$ jest zbiorem skończonym (typowo wówczas $S = \{1, 2, \dots n\}$ dla pewnego naturalnego $n$).

Zobacz też

• przestrzeń zwarta
• rodzina lokalnie skończona
• rodzina punktowo skończona
• podział zbioru