Porządek ciągły

Porządek ciągły – własność porządków liniowych po raz pierwszy rozważana przez Richarda Dedekinda w 1872; jest ona wzmocnieniem zupełności i w terminach topologicznych jest równoważna spójności topologii przedziałowej.

Nazwa

Nazwa porządek ciągły wskazuje na motywację, jaką było opisanie i konstrukcja prostej rzeczywistej jako obiektu ciągłego podana przez Dedekinda w jego pracy z 1872. Wprowadzone przez niego warunki (i)-(iv) są, we współczesnym języku, stwierdzeniem że porządek liczb rzeczywistych jest ciągły (a kluczowa własność (iv) ma właśnie nazwę ciągłości).

W literaturze polskojęzycznej termin ten jest używany dość systematycznie. We współczesnej literaturze angielskojęzycznej częściej używa się bardziej opisowego określenia gęsty zupełny porządek liniowy (complete dense linear order).

Porządek ciągły to taki gęsty porządek liniowy A w którym żadne właściwe cięcie w A nie ustala skoku w danym zbiorze A. Brak skoków jest powodem dla którego mówimy, że zbiór jest uporządkowany ciągle.

Definicje formalne

Niech $(A,\leqslant )$ będzie porządkiem liniowym.

• Porządek $(A,\leqslant )$ jest porządkiem gęstym jeśli A ma przynajmniej dwa elementy oraz między dowolnymi dwoma elementami A znajduje się trzeci element, tzn.

$\forall _{a\in A}\forall _{b\in A}(a<b)\Rightarrow \ \exists _{c\in A}(a<c<b).$

• Podzbiór $B\subseteq A$ porządku A jest ograniczony z góry jeśli istnieje element $a\in A$ większy niż wszystkie elementy zbioru B, tzn. taki, że

$\forall _{b\in B}(b\leqslant a).$

Analogicznie podzbiór $B\subseteq A$ jest ograniczony z dołu jeśli istnieje element $a\in A$ taki, że

$\forall _{b\in B}(a\leqslant b).$

• Porządek $(A,\leqslant )$ jest ciągły jeśli jest to porządek gęsty oraz każdy podzbiór zbioru A jest ograniczony, tzn. ograniczony z góry i z dołu, czyli ma zarówno kres górny, jak i dolny.

Zobacz też

• aksjomat ciągłości
• przekrój Dedekinda

Linki zewnętrzne

• John L.J.L. Bell John L.J.L., Continuity and Infinitesimals, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 6 września 2013, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-01-16]  (ang.).