Postać Jordana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Postać Jordana macierzy – macierz w specjalnej, prawie przekątniowej, postaci związana z daną macierzą przez przejście odpowiadające zmianie bazy. Nazwa była wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Camille Jordana.

Postać Jordana kwadratowej macierzy A to przedstawienie

A= P^{-1} J P,\!

gdzie

  • A – dana macierz,
  • P – pewna macierz nieosobliwa której niektórymi kolumnami są wektory własne macierzy A,
  • J – szukana macierz Jordana.

Żądamy, by macierz Jordana była w szczególnej postaci. Na diagonali miała klatki (zwane klatkami Jordana), czyli

J=
\begin{pmatrix}
J_1     & 0        & \cdots  & 0 \\
0       & J_2      & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots   & \ddots  & \vdots \\
0       & 0        & 0       & J_n \\
\end{pmatrix}.

Zaś każda klatka Jordana ma daną wartość własną na diagonali i liczbę 1 ponad nią.


J_k=
\begin{pmatrix}
\lambda_k & 1         & 0         & 0      & \cdots    & 0 \\
0         & \lambda_k & 1         & 0      & \cdots    & 0 \\
0         & 0         & \lambda_k & 1      & \cdots    & 0 \\
\vdots    & \vdots    & \vdots    & \vdots & \ddots    & \vdots \\
0         & 0         & 0         & 0      & \lambda_k & 1       \\
0         & 0         & 0         & 0      & 0         & \lambda_k \\
\end{pmatrix}


Każdej klatce Jordana odpowiada dokładnie jeden wektor własny, ale może istnieć kilka klatek Jordana o tej samej wartości własnej.

Wymiar pojedynczej klatki jest z przedziału \{ 1,2, ..., N \}, gdzie N to wymiar macierzy A.

Macierz Jordana to macierz trójkątna górna. Można równie dobrze umówić się, że macierze Jordana są dolnotrójkątne (jedynki są poniżej diagonali), jednak historycznie przyjęto używać macierzy górnotrójkątnych.

Rozkład Jordana[edytuj | edytuj kod]

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci iloczynu trzech macierzy

A= P J P^{-1},\!

przy oznaczeniach jak z początku artykułu.

Twierdzenie Jordana mówi, że nad ciałem algebraicznie domkniętym taki rozkład zawsze istnieje.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Podobieństwo[edytuj | edytuj kod]

Dwie macierze A i Bpodobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą postać Jordana. Pokażemy implikację w jedną stronę.

P_A^{-1} A P_A=J=P_B^{-1} B P_B,\!

co daje

A = P_A P_B^{-1} B P_B P_A^{-1}.\!

Potęgowanie macierzy[edytuj | edytuj kod]

Stosunkowo łatwo jest podnosić do potęgi macierz kwadratową w postaci Jordana.

\begin{align}
A^m&= (P J P^{-1})^m = \overbrace{ P J P^{-1} P J P^{-1} \dots P J P^{-1} }^{m}\\
&= P J^m P^{-1} = P \operatorname{diag}(J_1^m, J_2^m, \dots, J_n^m) P^{-1}
\end{align}

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Jordana - twierdzenie algebry liniowej o istotnym znaczeniu w teorii równań różniczkowych. Sformułowane przez francuskiego matematyka Camille Jordana.

Załóżmy, że V\; jest skończeniewymiarową przestrzenią liniową nad ciałem algebraicznie domkniętym F (w szczególności, ciałem liczb zespolonych) oraz \varphi jest endomorfizmem tej przestrzeni. Wówczas istnieje baza przestrzeni V\; w której \varphi ma macierz w postaci macierzy klatkowej

J=\left[\begin{array}{c c c c c c}
A_1 & 0       & 0       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & A_2 & 0       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & 0       & A_3 & 0      & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0       & 0       & 0       & 0      & A_{k-1} & 0       \\
0       & 0       & 0       & 0      & 0       & A_k \\\end{array}\right]

gdzie każda macierz A_i jest postaci

A_i=\left[\begin{array}{c c c c c c}
\lambda_i & 1       & 0       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & \lambda_i & 1       & 0      & \cdots  & 0 \\
0       & 0       & \lambda_i & 1      & \cdots  & 0 \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0       & 0       & 0       & 0      & \lambda_i & 1       \\
0       & 0       & 0       & 0      & 0       & \lambda_i \\\end{array}\right],\quad  \lambda_i\in F,\; i\in\{1,\ldots, k\}

Macierz A_i nazywamy klatką Jordana. Elementy diagonalne \lambda _i są wartościami własnymi endomorfizmu \varphi. Liczba wystąpień danej liczby \lambda na przekątnej macierzy nazywana jest krotnością wartości własnej \lambda.


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Wykłady z algebry liniowej II: przestrzenie afiniczne i euklidesowe, T. Koźniewski, Uniwersytet Warszawski, Warszawa, 2006