Postać Jordana

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Postać Jordana macierzy – macierz w specjalnej, prawie przekątniowej, postaci związana z daną macierzą przez przejście odpowiadające zmianie bazy. Nazwa była wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Camille Jordana.

Postać Jordana kwadratowej macierzy A to przedstawienie

$J= P^{-1} A P,\!$

gdzie

• A – dana macierz,
• P – pewna macierz nieosobliwa której niektórymi kolumnami są wektory własne macierzy A,
• J – szukana macierz Jordana.

Żądamy, by macierz Jordana była w szczególnej postaci. Na diagonali miała klatki (zwane klatkami Jordana), czyli

$J= \begin{pmatrix} J_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & J_n \\ \end{pmatrix}$.

Zaś każda klatka Jordana ma daną wartość własną na diagonali i liczbę 1 ponad nią.

$J_k= \begin{pmatrix} \lambda_k & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_k & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_k & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_k & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_k \\ \end{pmatrix}$

Każdej klatce Jordana odpowiada dokładnie jeden wektor własny, ale może istnieć kilka klatek Jordana o tej samej wartości własnej.

Wymiar pojedynczej klatki jest z przedziału $\{ 1,2, ..., N \}$, gdzie N to wymiar macierzy A.

Macierz Jordana to macierz trójkątna górna. Można równie dobrze umówić się, że macierze Jordana są dolnotrójkątne (jedynki są poniżej diagonali), jednak historycznie przyjęto używać macierzy górnotrójkątnych.

Rozkład Jordana

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci iloczynu trzech macierzy

$A= P J P^{-1},\!$

przy oznaczeniach jak z początku artykułu.

Twierdzenie Jordana mówi, że nad ciałem algebraicznie domkniętym taki rozkład zawsze istnieje.

Zastosowania

Podobieństwo

Dwie macierze A i B są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą postać Jordana. Pokażemy implikację w jedną stronę.

$P_A^{-1} A P_A=J=P_B^{-1} B P_B,\!$

co daje

$A = P_A P_B^{-1} B P_B P_A^{-1}.\!$

Potęgowanie macierzy

Stosunkowo łatwo jest podnosić do potęgi macierz kwadratową w postaci Jordana.

$\begin{align} A^m&= (P J P^{-1})^m = \overbrace{ P J P^{-1} P J P^{-1} \dots P J P^{-1} }^{m}\\ &= P J^m P^{-1} = P \operatorname{diag}(J_1^m, J_2^m, \dots, J_n^m) P^{-1} \end{align}$

Twierdzenie

Twierdzenie Jordana - twierdzenie algebry liniowej o istotnym znaczeniu w teorii równań różniczkowych. Sformułowane przez francuskiego matematyka Camille Jordana.

Załóżmy, że $V\;$ jest skończeniewymiarową przestrzenią liniową nad ciałem algebraicznie domkniętym $F$ (w szczególności, ciałem liczb zespolonych) oraz $\varphi$ jest endomorfizmem tej przestrzeni. Wówczas istnieje baza przestrzeni $V\;$ w której $\varphi$ ma macierz w postaci macierzy klatkowej

$J=\left[\begin{array}{c c c c c c} A_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & A_3 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & A_{k-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A_k \\\end{array}\right]$

gdzie każda macierz $A_i$ jest postaci

$A_i=\left[\begin{array}{c c c c c c} \lambda_i & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i \\\end{array}\right],\quad \lambda_i\in F,\; i\in\{1,\ldots, k\}$

Macierz $A_i$ nazywamy klatką Jordana. Elementy diagonalne $\lambda _i$ są wartościami własnymi endomorfizmu $\varphi$. Liczba wystąpień danej liczby $\lambda$ na przekątnej macierzy nazywana jest krotnością wartości własnej $\lambda$.

Zobacz też

• rozkład macierzy
• diagonalizacja
• rozkład wartości osobliwych

Bibliografia

• Wykłady z algebry liniowej II: przestrzenie afiniczne i euklidesowe, T. Koźniewski, Uniwersytet Warszawski, Warszawa, 2006