Postulat Euklidesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Spis treści

Postulat Euklidesa, postulat równoległości, piąty aksjomat Euklidesa – jeden z aksjomatów geometrii euklidesowej. Ma on postać:

Jeżeli prosta przecina dwie proste, tworząc dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwie proste przecinają się po tej stronie, po której znajdują się owe kąty wewnętrzne.

Nazwa piąty postulat jest nazwą historyczną, wynikającą z kolejności jego występowania w Elementach autorstwa Euklidesa. Spośród wielu określeń tego postulatu, określenie postulat Euklidesa, choć bardzo popularne, jest nieco mylące, bowiem każdy z pięciu postulatów jest postulatem Euklidesa i w równej mierze konstytuuje geometrię euklidesową.

Euklides w Elementach, zgodnie z metodologią Arystotelesowską, osobno wyliczał aksjomaty (tj. aksjomaty logiczne i identyczności w dzisiejszej terminologii) i postulaty (tj. aksjomaty pozalogiczne)[1]. We współczesnej metodologii nauk określeń postulat i aksjomat używa się zamiennie, stąd niekiedy piąty postulat nazywa się nieprecyzyjnie piątym aksjomatem Euklidesa.

Historia [edytuj]

Piąty aksjomat Euklidesa

Wyjątkowość piątego postulatu wynikała z tego, że od początku wydał się bardziej skomplikowany od pozostałych[a]. Nasuwało to podejrzenia, że może on być wnioskiem z pozostałych, bowiem zgodnie z ówczesnymi wyobrażeniami każdy postulat powinien być prosty i oczywisty. Ponieważ piąty postulat nie był ani prosty, ani oczywisty, całe pokolenia matematyków próbowały go dowieść na podstawie pierwszych czterech. Wszystkie te próby – choć nie mogły się powieść – walnie przyczyniły się do uściślenia pojęć, wysublimowania metod dowodowych. Było to zagadnienie wytyczające przez wiele wieków kierunki rozwoju geometrii.

Na początku XVIII w. matematycy jak dotąd bezskutecznie zmagający się z problemem piątego postulatu zmienili podejście: zamiast podejmować kolejne próby jego dowodzenia, zaczęli starannie wyodrębniać twierdzenia wynikające z wyłącznie pierwszych czterech postulatów, a dołączając zaprzeczenie piątego postulatu, starali się uzyskać sprzeczność. Nieświadomie stworzyli przy tym podwaliny geometrii absolutnej, czyli geometrii opartej na pierwszych czterech postulatach Euklidesa. Największe zasługi mają tutaj Giovanni Gerolamo Saccheri[b] i Lambert[c].

Przez wiele lat podejmowane nieskuteczne próby znalezienia sprzeczności zrodziły najpierw podejrzenia, a potem przekonanie, że takiej sprzeczności po prostu nie ma, a teoria z zaprzeczonym piątym postulatem jest jak najbardziej poprawna (Gauss, Bolyai, Łobaczewski). Stworzenie przez Kleina modelu dla takiej teorii definitywnie zamknęło problem – aksjomat ten okazał się niezależny od pierwszych czterech.

Współcześnie geometria absolutna jest teorią, która ma dokładnie dwa rozszerzenia do teorii kategorycznej w zależności od tego, czy dołączy się do niej aksjomat Euklidesa o równoległych czy też jego zaprzeczenie. W pierwszym przypadku jest to geometria euklidesowa, w drugim – geometria hiperboliczna.

Zdania równoważne [edytuj]

W zasadzie aż do XVII w. wszystkie próby udowodnienia aksjomatu Euklidesa sprowadzały się do „przemycenia” zdania, które dowodzący uważał za wynikające z pierwszych czterech postulatów, a które okazywało się być zdaniem równoważnym piątemu postulatowi. Za każdym razem skutkowało to dalszym przedłużaniem listy takich zdań.

Oto wybór niektórych takich zdań, pominięto w nim oryginalny piąty postulat:

  1. Do danej prostej przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną (John Playfair, 1785)[2].
  2. Na każdym trójkącie można opisać okrąg (Wolfgang Bolyai, ojciec Janosa)[3].
  3. Wysokości trójkąta przecinają się[4][d].
  4. Przez dowolny punkt wnętrza kąta wypukłego można poprowadzić prostą przecinającą oba jego ramiona [5][e] (Legendre ok. 1800).
  5. Prostopadła i pochyła do danej prostej zawsze się przecinają (Legendre)[6].
  6. Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa dwóm kątom prostym[7].
  7. Istnieje czworokąt, którego suma kątów wewnętrznych jest równa czterem kątom prostym[8].
  8. Istnieje prostokąt.
  9. Istnieją trzy różne współliniowe punkty tak samo odległe od danej prostej (Posidonius I w. n.e.)[9].
  10. Istnieją dwa trójkąty podobne, ale nieprzystające (Wallis ok. 1650)[10].
  11. Odległość między nieprzecinającymi się prostymi jest ograniczona z góry (Proklos)[11].
  12. Jeśli teza Plaifaira jest prawdziwa dla jakiegoś punktu C leżącego poza pewną prostą AB, to prawdziwa jest dla każdego innego punktu leżącego poza dowolną inną prostą[12].

Równoważność powyżej zamieszczonych zdań polega na tym, że

  • uzupełniając aksjomatykę geometrii absolutnej o dowolne z nich można dowieść każde z pozostałych,
  • uzupełniając ją o zaprzeczenie dowolnego z nich można dowieść zaprzeczenia każdego z pozostałych.

Aksjomat Euklidesa w geometrii afinicznej [edytuj]

Pierwszy z aksjomatów na powyższej liście jest afiniczną[13] wersją piątego postulatu:

Do danej prostej, przez dany punkt, można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną.

Jego zaletą jest to, że nie odwołuje się do pojęcia kąta prostego, odległości ani do pojęcia porządku[f] (jak w czwartym z wymienionych na liście). Dlatego też jest również wykorzystywane w aksjomatykach geometrii afinicznej[14].

Uwagi

  1. ↑ M. Kordos w Wykładach z historii matematyki (s. 101) powołując się na Proklosa sugeruje, że sam Euklides traktował „swój” piąty postulat z pewną podejrzliwością i nie powoływał się na niego w swoich dowodach twierdzeń tak długo, jak to było możliwe.
  2. ↑ W dziele Euklides z wszelkich zmaz oczyszczony opublikowanym w 1733 wprowadził pojęcie czworokąta Saccheriego
  3. ↑ W dziele Teoria równoległych opublikowanym w 1791 wprowadził m.in. pojęcie defektu trójkąta
  4. ↑ Zdanie to nie postuluje przecinania się wszystkich trzech wysokości w jednym punkcie, ale jedynie przecinanie się dowolnych dwóch.
  5. ↑ Z tego zdania wynika m.in. nieistnienie prostej zagradzającej
  6. ↑ Geometria afiniczna zawiera geometrię uporządkowania. Postulat Euklidesa w postaci Playfaira może być jednym z aksjomatów, który należy dodać, by geometrię afiniczną uzyskać. Coxeter, op. cit., s. 209

Przypisy

  1. ↑ Roman Murawski: Filozofia matematyki. Poznań: Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza, 2008, s. 24. ISBN 978-83-232-1925-5.
  2. ↑ Kostin W.: Podstawy geometrii. Warszawa: 1961, s. 202.
  3. ↑ Kostin, op. cit., s. 204
  4. ↑ Kostin, op. cit., s. 205
  5. ↑ Kostin, op. cit., s. 212
  6. ↑ Kostin, op. cit., s. 203
  7. ↑ Kostin, op. cit., s. 206
  8. ↑ Kostin, op. cit., s. 210
  9. ↑ Kostin, op. cit., s. 210
  10. ↑ Kostin, op. cit., s. 211
  11. ↑ Kostin, op. cit., s. 215
  12. ↑ Kostin, op. cit., s. 216
  13. ↑ Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 209.
  14. ↑ W. Szmielew Od geometrii afinicznej do euklidesowej. Rozważania nad aksjomatyką. PWN W-wa 1981 BM 55, s. 21

Bibliografia [edytuj]

  • M. Kordos, L. Włodarski, O geometrii dla postronnych. PWN Warszawa, 1981, Biblioteka Problemów 274
  • M. Kordos, Wykłady z historii matematyki WSiP Warszawa, 1994
  • K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii PWN Warszawa, 1972, BM 55
  • Kostin W.: Podstawy geometrii. Warszawa: PZWS, 1961.
  • Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.

Linki zewnętrzne [edytuj]

Źródło „http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Postulat_Euklidesa&oldid=35818861”