Postulaty mechaniki kwantowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Postulaty mechaniki kwantowej – podstawowe założenia mechaniki kwantowej, na podstawie których została opracowana cała teoria fizyczna i sformułowane ogólne prawa[a]. Jako że mechaniki kwantowej, tak samo jak i innych teorii fizycznych, nie można wyprowadzić ani udowodnić, jej sformułowanie matematyczne oparte jest na szeregu założeń, zwyczajowo nazywanych postulatami. Ostatecznie o ich poprawności świadczy jedynie zgodność z doświadczeniem i wewnętrzna niesprzeczność teorii.

I postulat[edytuj | edytuj kod]

Stan układu kwantowomechnicznego jest opisany dzięki funkcji falowej ψ (q1, q2, ..., qf, t). Jest to funkcja stanu zależna od współrzędnych uogólnionych i czasu, o f stopniach swobody.
Sama funkcja falowa nie ma sensu fizycznego. Sens fizyczny ma kwadrat modułu funkcji falowej pomnożony przez element objętości, który określa prawdopodobieństwo, że w chwili t wartości współrzędnych są w przedziałach q1 do q1+dq1, ... qf do qf+dqf:

 |\psi (q_1, q_2, ... q_f, t)|^2 d \tau = \rho (q_1, q_2, ... q_f, t) d \tau

gdzie element objętości odnosi się do przestrzeni f-wymiarowej. Ponieważ całkowite prawdopodobieństwo musi być równe jedności, można zapisać:

 \int |\psi (q_1, q_2, ... q_f, t)|^2 d \tau = 1

Zatem jeżeli ρdτ określa prawdopodobieństwo, to ρ określa gęstość prawdopodobieństwa.

II postulat[edytuj | edytuj kod]

Drugi postulat mówi o tym, że każdej zmiennej dynamicznej A przyporządkowuje się pewien operator \hat{\alpha}. Należy się do tego posłużyć pewnymi regułami:

  • jeżeli zmienną jest współrzędna q lub czas t, to odpowiadającym operatorem jest ta sama zmienna \hat{q} lub \hat{t}
  • jeżeli zmienną jest pęd, to jego operatorem jest:
\hat{p}_i = {\hbar\over i}{\partial \over \partial q_i}
  • jeżeli zmienną jest inna wielkość niż wyżej wymienione, to operator należy wyrazić poprzez jedną z powyższych zmiennych zastępując je odpowiednimi operatorami np:

składowa z momentu pędu: \hat{M}_z = {\hbar \over i}(x{\partial \over \partial y} - y{\partial \over \partial x})
Drugi postulat wprowadza również pojęcie komutatora np.

\hat{p}_i \hat{q}_i - \hat{q}_i \hat{p}_i \equiv [\hat{p}_i \hat{q}_i]

oraz hamiltonianu czyli operatora energii całkowitej:

\hat{H} = \hat{T} + \hat{V}

gdzie T i V to operatory energii kinetycznej i potencjalnej.

III postulat[edytuj | edytuj kod]

Trzeci postulat wprowadza podstawowe równanie mechaniki kwantowej – równanie Schrödingera zawierające czas:

-{{\hbar} \over i} \frac{\partial}{\partial t}\psi = \hat H \psi

Jeśli znany jest operator hamiltona to można wyznaczyć funkcję falową ψ (q1, q2, ..., qf, t).

IV postulat[edytuj | edytuj kod]

Jeśli ψ oznacza funkcję własną a an wartość własną operatora α to:
\hat{\alpha} \psi_n = a_n \psi_n
Takie twierdzenie ma kilka konsekwencji:

  • Ponieważ pomiar zmiennych dynamicznych musi być liczbą rzeczywistą, to ich operatory muszą być hermitowskie.
  • Jeśli operatory \hat{\alpha} i \hat{\beta} ze sobą komutują, to mają wspólny funkcje własne, natomiast jeśli są nieprzemienne mają różne funkcje własne.
  • Wynikiem pomiaru energii może być tylko wartość własna operatora Hamiltona:
\hat{H} \psi (q_1, q_2, ... q_f) = E \psi (q_1, q_2, ... q_f)

Powyższe równanie to równanie Schrödingera nie zawierające czasu.

V postulat[edytuj | edytuj kod]

Piąty postulat wprowadza wielkość zwaną wartością średnią, opisywaną wzorem (dla funkcji znormalizowanej) :
\overline{a} = \int \psi^* \hat{\alpha} \psi d \tau
gdzie * oznacza sprzężenie zespolone.
W przypadku funkcji nieunormowanej:
\overline{a} = {{\int \psi^* \hat{\alpha} \psi d \tau} \over {\int \psi^* \psi d \tau}}

Uwagi

  1. Numeracja i kolejność postulatów może być zmienna, w różnych źródłach

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]