Potęgi kroczące

Potęgi kroczące - symbole wykorzystywane w kombinatoryce do oznaczania pewnych specyficznych wielomianów. Są dwa rodzaje potęg kroczących.

Silnia górna

Symbolem silni górnej jest:

$x^{\overline{m}}$

Powyższy symbol czyta się jako "x do m-tej przyrastającej" i oznacza wielomian postaci:

$x^{\overline{m}} = x(x+1)\ldots(x+m-1) = \frac{(x+m-1)!}{(x-1)!} \ \ m\in\mathbb{N}$

wyrażenie po prawej ma m czynników.

Silnia dolna

Symbolem silni dolnej jest:

$x^{\underline{m}}$

Powyższy symbol czyta się jako "x do m-tej ubywającej" i oznacza wielomian postaci:

$x^{\underline{m}} = x(x-1)\ldots(x-m+1)\ = \frac{x!}{(x-m)!} \ m\in\mathbb{N}$

wyrażenie po prawej ma m czynników.

Dla wykładników mniejszych od 0 silnię dolną definiuje się jako:

$x^{-\underline{m}} = \frac{1}{(x+1)(x+2)\ldots(x+m)}\ \ m\in\mathbb{N}$

Własności

• $x^{\underline{m+n}} = x^{\underline{m}}(x-m)^{\underline{n}}\ \ m,n\in\mathbb{Z}$

Zobacz też

• liczby Stirlinga