Potęgowanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Potęgowaniedziałanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy[1], nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.

Na przykład:

3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81

gdzie podstawą potęgi jest liczba 3, a wykładnikiem liczba 4.

Drugą potęgę nazywa się często kwadratem, a trzecią – sześcianem (zwykle w stosunku do wartości liczbowych, choć nie tylko). Określenia te nawiązują do geometrii, gdyż pole powierzchni kwadratu o boku długości a wynosi a^2, a objętość sześcianu o tym samym boku jest równa a^3.

Potęga naturalna[edytuj | edytuj kod]

Niech a oraz n będą liczbami naturalnymi. Symbol a^n oznacza wtedy n-krotne mnożenie elementu a przez siebie, czyli

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_n

i czyta się go a podniesione do n-tej potęgi, a do n-tej potęgi lub nawet a do n-tej. W szczególności

a^1 = a\;
(1)

Z definicji potęgi wynika, iż 0^n = 0 oraz 1^n = 1 dla dowolnego n \in \mathbb N_+.

Definicja ta ma sens, jeżeli elementy a pochodzą ze zbioru, w którym istnieje dobrze określone mnożenie (bądź składanie, zob. definicję grupy) elementów: najmniejsze wymagania względem niego, to bycie dwuargumentowym działaniem łącznym. W szczególności a może być również elementem dobrze znanych struktur takich jak liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, czy zespolone.

Zasadniczą własnością potęgi jest, iż dla dowolnych m, n \in \mathbb N zachodzi

a^{m + n} = a^m \cdot a^n.
(2)

Wynika ona z faktu, że

a^{m + 1} = a^m \cdot a

W tym przypadku 0 można zaliczyć do liczb naturalnych: ponieważ

a^m = a^{m + 0} = a^m \cdot a^0,

to przyjmuje się, że

a^0 = 1
(3)

Przypadek 0^0 nie jest jednoznaczny, omówiono go oddzielnie w dalszej części artykułu.

Potęga całkowita[edytuj | edytuj kod]

Definicję potęgowania łatwo rozszerza się na wykładniki ujemne: wyżej wystarczy przyjąć, iż m, n \in \mathbb Z. Z powyższych obserwacji wynika, iż

1 = a^0 = a^{1 + (-1)} = a \cdot a^{-1}

Z definicji elementu odwrotnego wynika, że a^{-1} = \tfrac{1}{a}, o ile a należy do zbioru, w którym określono dzielenie, przy czym a \ne 0 (konieczne jest i wystarczy, by a było elementem odwracalnym). Ogólniej:

a^{-n} = \tfrac{1}{a^n} = (\tfrac{1}{a})^n

dla n \in \mathbb Z.

Warto zauważyć, że dla m, n \in \mathbb Z prawdziwa jest również własność

(a^m)^n = a^{m \cdot n}.
(4)

Pierwiastek, potęga wymierna[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: pierwiastkowanie.

Własność (4) jest prawdziwa także dla wykładników wymiernych. Niech m, n \in \mathbb Z będą względnie pierwsze, przy czym n > 0, wówczas \tfrac{m}{n} \in \mathbb Q jest ułamkiem nieskracalnym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby nieujemnej a nazywa się rozwiązanie równania x^n = a. Oznacza się je symbolem \sqrt[n]{a}, a zamiast \sqrt[2]{a} pisze się zwykle po prostu \sqrt{a}. Jeżeli a<0 , to pierwiastkiem stopnia nieparzystego k nazywamy liczbę -\sqrt[k]{-a}. Dla k parzystego taki pierwiastek rzeczywisty nie istnieje. Pierwiastek k-tego stopnia z liczby a oznaczamy również jako  a^{1/k}

Powyższe obserwacje podsumowuje wzór

a = a^1 = a^{n \cdot \frac{1}{n}} = (a^n)^{\frac{1}{n}},
(5)

z którego widać, iż podniesienie elementu do potęgi 1/n znosi działanie potęgi o wykładniku n, zatem pierwiastkowanie można traktować jako działanie odwrotne względem a^n.

W ten sposób definiuje się potęgę o wykładniku wymiernym wzorem

a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}
(6)

dla wszystkich m, n dla których ma on sens (patrz dalej).

Potęga rzeczywista[edytuj | edytuj kod]

Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7

Dla wykładników wymiernych potęgowanie można było traktować (o ile było wykonalne) jako złożenie potęgowania naturalnego (wielokrotne mnożenie), potęgi o wykładniku -1 (odwracania elementu) i odwrotności potęgi (pierwiastkowania). Definicja potęgowania dodatniej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym jest nieco bardziej zawiła, gdyż liczba niewymierna nie może być uzyskana tą drogą.

Wystarczy jednak w niej uwzględnić, iż liczby rzeczywiste są możliwe do uzyskania jako granice ciągów liczb wymiernych (tzw. ciągi Cauchy'ego). Na podstawie powyższych rozważań zdefiniowana jest potęga x^y dla nieujemnych x \in \mathbb R, oraz y \in \mathbb Q. Jeżeli y jest liczbą niewymierną, tzn. y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q, to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych y_1, y_2, \dots o granicy w y i przyjąć

x^y = \lim_{n \to \infty}~x^{y_n}

Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1-6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako

x^y = \sup \{x^p: p < y \mbox{ i } p \in \mathbb Q\}.

W obu przypadkach korzysta się z ciągłości.

Funkcja wykładnicza[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: funkcja wykładnicza.

Jeżeli a > 0, to układ równań funkcyjnych (por. (1) i (2)):

\begin{cases} f_a(x + y) = f_a(x) \cdot f_a(y) \\ f_a(1) = a \end{cases}

definiuje jedyną (wszędzie) ciągłą[2] funkcję f_a: \mathbb R \to \mathbb R, gdzie a \in \mathbb R dla której zachodzi

f_a(x) = a^x\;.

Funkcję f_a nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie a. Z powodu dogodnych własności liczby e (podstawy logarytmu naturalnego) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocą logarytmu naturalnego, definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np. macierze kwadratowe, zob. dalej). Funkcja (elementarna) \exp może być zadana za pomocą szeregu potęgowego

\exp(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!},

który jest zbieżny dla dowolnego x \in \mathbb R (a nawet x \in \mathbb C). Zachodzą własności (1-6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2-3):

\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)

oraz

\exp(0) = 1\;.

Dowodzi się również ciągłości i monotoniczności funkcji \exp oraz tego, iż

\exp(1) = e\;.

Mając daną funkcję wykładniczą definiuje się funkcję logarytmu naturalnego \ln(x), będącą przypadkiem szczególnym funkcji logarytmicznej, jako funkcją odwrotną do \exp(x)[3] dla x \in \mathbb R (stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem

x^y = \exp(y \ln(x))\;,

który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla x > 0 oraz y \in \mathbb R.

Ujemna podstawa[edytuj | edytuj kod]

Równanie x^n = a nie ma rozwiązań rzeczywistych dla a < 0 oraz parzystego n, choć ma jedno dla n nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków. Zasadniczym problemem jest fakt, iż nie istnieje liczba rzeczywista x będąca rozwiązaniem równania x^2 = -1, dlatego definicja potęgi dla wykładnika będącego liczbą parzystą (licznik i mianownik są względnie pierwsze) wymaga użycia jednostki urojonej i będącej jednym z rozwiązań wspomnianego równania.

Metoda korzystająca z logarytmów zawodzi, ponieważ e^x > 0 dla dowolnej x \in \mathbb R, stąd dla a \leqslant 0 liczba \ln y nie jest rzeczywista (z drugiej strony można zdefiniować potęgi zespolone liczb ujemnych wybierając logarytm zespolony z y.

Do określenia potęgi ujemnej liczby rzeczywistej nie można również skorzystać z metody wykładnika wymiernego, gdyż opiera się ona na ciągłości. Funkcja f(x) = a^x ma dokładnie jedno rozszerzenie ciągłe z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste dla dowolnego a > 0, lecz okazuje się, że jeżeli a < 0, to funkcja f nie jest ciągła nawet w zbiorze liczb wymiernych, w którym została określona.

Na przykład, jeśli a = -1, to pierwiastkiem n-tego stopnia z -1 dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n > 0 jest -1. Niech n będzie nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą, wówczas (-1)^{m/n} = -1 dla m nieparzystych i (-1)^{m/n} = 1 dla m parzystych. Stąd zbiór liczb wymiernych q, dla których (-1)^q = 1 jest gęsty w zbiorze liczb wymiernych, podobnie zbiór tych q, dla których (-1)^q = -1, co oznacza, że funkcja (-1)^q jest nieciągła w dowolnym punkcie q należącym do zbioru liczb wymiernych, w którym została zdefiniowana.

Liczby zespolone[edytuj | edytuj kod]

Wykładnik zespolony[edytuj | edytuj kod]

Funkcja wykładnicza ez może być zdefiniowana jako granica ciągu (1 + z/N)N, dla N dążącego do nieskończoności, stąd e jest granicą ciągu (1 + /N)N. W animacji przedstawiono zwiększające się w zakresie od 1 do 100 wartości N. Wartość (1 + /N)N jest przedstawiona jako wynik N kolejnych mnożeń na płaszczyźnie zespolonej, gdzie ostatni punkt jest właściwą wartością tego ciągu. Można zaobserwować, że ciąg (1 + /N)N dąży do −1 wraz ze wzrostem N. Stąd e = −1, równanie to znane jest jako tożsamość Eulera.

Kluczem do zrozumienia \exp(ix) dla rzeczywistych wartości x jest interpretacja geometryczna działań na liczbach zespolonych oraz definicja potęg liczby e, czyli funkcji wykładniczej \exp. Niech dany będzie na płaszczyźnie zespolonej trójkąt prostokątny o wierzchołkach (0, 1, 1 + \tfrac{ix}{n}). Dla dużych wartości n jest nieomalże wycinkiem kołowym o rozwartości kąta środkowego równej \tfrac{x}{n} radianów. Trójkąty (0, (1 + \tfrac{ix}{n})^k, (1 + \tfrac{ix}{n})^{k + 1})podobne dla wszystkich k. Stąd dla dużych n punkt graniczny ciągu (1 + \tfrac{ix}{n})^n jest punktem okręgu jednostkowego, którego kąt liczony od dodatniej osi rzeczywistej wynosi x radianów. Współrzędnymi biegunowymi (postacią trygonometryczną) tego punktu są 1 = (r, \theta) = (1, x), a współrzędnymi prostokątnymi (postacią algebraiczną) para (\cos x, \sin x). W ten sposób 1 = e^{ix} = \cos x + i\sin x. Zależność ta nazywana jest wzorem Eulera i łączy ona algebrę z trygonometrią poprzez liczby zespolone.

Rozwiązaniem równania e^z = 1 są całkowite wielokrotności 2\pi i:

\{z: e^z = 1\} = \{2k\pi i: k \in \mathbb Z\}.

Ogólniej, jeśli e^b = a, to każde rozwiązanie e^z = a może być uzyskane przez dodanie całkowitej wielokrotności 2\pi i do b:

\{z: e^z = a\} = \{b + 2k\pi i: k \in \mathbb Z\}.

Zespolona funkcja wykładnicza jest zatem funkcją okresową o okresie głównym 2\pi i.

Ostatecznie:

e^{\pi i} = -1\;,
e^{x + iy} = e^x(\cos y + i \sin y)\;.

Ze wzoru Eulera wynika też, że funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa spełniają zależności:

\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}.

Przed odkryciem liczb zespolonych funkcje sinusa i cosinusa definiowano geometrycznie, powyższe wzory upraszczają skomplikowane wzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznych do prostego wzoru na potęgowanie:

e^{i(x+y)} = e^{ix} e^{iy}\;.

W ten sposób potęgowanie wykładników zespolonych sprowadza wiele problemów trygonometrycznych do zagadnień algebraicznych.

Potęgę e^{x + iy}\; oblicza się jako e^x e^{iy}\;, gdzie czynnik rzeczywisty e^x\; jest modułem, zaś e^{iy}\; to kierunek (wraz ze zwrotem, y\; nazywany jest argumentem) liczby e^{x + iy}\;.

Potęga zespolona[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli a jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a z dowolną liczbą zespoloną, to potęgę a^z definiuje się wzorem

a^z = e^{z \ln a}\;,

gdzie x = \ln a jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania e^x = a.

Jeżeli a jest liczbą zespoloną, to napotyka się pewne trudności: definiuje się albo funkcje nieciągłe, albo wielowartościowe. W dziedzinie zespolonej \ln(x) jest funkcją wielowartościową, a różnica między jej wartościami wynosi 2k\pi i dla k \in \mathbb C, to i funkcja wykładnicza jest określona niejednoznacznie miewając nieskończoną liczbę wartości.

Niech z = \mathrm{Ln}(x) będzie dowolnie wybraną gałęzią logarytmu x, wówczas:

x^y = e^{y (z + 2k\pi i)} = e^{yz} e^{y 2k\pi i}\;,

czyli moduł x^y wynosi wtedy \exp(y \mathrm{Ln}(x)) \in \mathbb R, zaś jej argument przyjmuje dowolną z wartości 2k\pi y. Potęga będzie miała n wartości tylko wtedy, gdy y = c/n, gdzie c i nwzględnie pierwsze). Jeżeli y \in \mathbb Z, to wygodnie jest korzystać ze wzoru de Moivre'a.

Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym 0^0 i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie tych warunków i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.

((-1)^2)^{\tfrac{1}{2}} = 1 \ne -1 = (-1)^{2 \cdot \tfrac{1}{2}}.

Funkcja potęgowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: funkcja potęgowa.

Funkcja wykładnicza zdefiniowana jest przez potęgowanie, gdzie zmienną jest wykładnik, a podstawa jest stałą. Sytuacja odwrotna, w której ustalony jest wykładnik, a podstawa jest zmienna również jest funkcją potęgową, co można było zaobserwować wyżej (wzór (5)). Określenie funkcji pierwiastkowej, czyli funkcji potęgowej o wykładniku będącym odwrotnością niezerowej liczby całkowitej przebiega identycznie jak wyżej. Problemem znowu staje się zdefiniowanie funkcji o wykładniku niewymiernym, jednak pokonuje się ją analogicznie i dowodzi się wielu jej własności (ciągłość, monotoniczność na przedziałach).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym, np. 8 = 2^3 \neq 3^2 = 9. Nie jest także łączne, np. 2^{(3^2)} = 2^9 = 512, lecz {(2^3)}^2 = 8^2 = 64.

Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika właśnie z nieprzemienności potęgowania. Zachodzą następujące wzory:

  • a^{r+s} = a^r \cdot a^s,
  • (a^r)^s = a^{r \cdot s}.

Jeżeli mnożenie jest przemienne, to zachodzi również

  • (a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r.

Jeżeli a^s jest elementem odwracalnym, to

  • a^{r-s} = \frac{a^r}{a^s}.

Dla r = 0 powyższy wzór oznacza:

  • a^{-s} = \frac{1}{a^s}.

Jeżeli tak b jak i b^r są odwracalne, to

  • \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}
Podstawa Wykładnik Potęga
całkowita dodatnia całkowity nieujemny całkowita dodatnia
całkowita całkowity nieujemny całkowita
wymierna dodatnia całkowity wymierna dodatnia
niewymierna dodatnia rzeczywisty rzeczywista dodatnia[4]
algebraiczna wymierny algebraiczna
algebraiczna różna od 0 i 1 zespolony, który nie jest liczbą wymierną przestępna[5]
przestępna wymierny różny od 0 przestępna
rzeczywista dodatnia rzeczywisty rzeczywista dodatnia
rzeczywista ujemna rzeczywisty zespolona[6]
zespolona całkowity zespolona (jednoznaczna)
zespolona wymierny zespolona (skończenie wiele wartości)
zespolona zespolony nie będący liczbą wymierną zespolona (nieskończenie wiele wartości)

Zero do potęgi zerowej[edytuj | edytuj kod]

y; czerwone krzywe dają różne granice, gdy (x, y) dąży do (0, 0), podczas gdy wszystkie zielone krzywe dają w granicy 1.

Większość autorów zgadza się z zamieszczonymi w poniższych listach stwierdzeniami dotyczącymi 0^0, lecz dochodzą do różnych wniosków, czy definiować wyrażenie 0^0, czy też nie (zob. następną podsekcję).

W większości przypadków, które nie wykorzystują ciągłości (na przykład, ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie 0^0 jako 1 upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, które wykorzystują ciągłość). Na przykład:

Z drugiej strony 0^0 musi być uważane za wyrażenie nieoznaczone w kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:

  • jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do 0 (gdy t zbiega do liczby rzeczywistej bądź \pm\infty), gdzie f(t) > 0, to funkcja f(t)^{g(t)} nie musi zbiegać do 1. Rzeczywiście, w zależności od f i g granica f(t)^{g(t)} może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź +\infty albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa się nieoznaczonym (ma postać nieoznaczoną)[9]
Przykładowo funkcje niżej są postaci f(t)^{g(t)}, gdzie f(t), g(t) \to 0 dla t \to 0^+ (zob. granica jednostronna), ale ich granice nie są równe:
\lim_{t \to 0^+} t^t = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t})^{at} = e^{-a}.
Tak więc 0^0 jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja x^y dwóch zmiennych choć jest ciągłą na zbiorze \{(x, y)\colon x > 0\}, nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym (0, 0), nie ważne jak zdefiniuje się 0^0[10].
  • Funkcja z^z jest określona dla niezerowych liczb zespolonych z przez wybranie gałęzi \log z i przyjęcie z^z := e^{z \log z}, ponieważ nie ma gałęzi \log z zdefiniowanej w z = 0, tylko w otoczeniu zera[11]. Nie istnieje funkcja holomorficzna określona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z z^z dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych z.

Historia różnych punktów widzenia[edytuj | edytuj kod]

Różni autorzy interpretują powyższą sytuację na różne sposoby:

  • Niektórzy argumentują, że najlepsza wartość 0^0 zależy od kontekstu, przez co zdefiniowanie jej raz na zawsze jest problematyczne[12]. Zgodnie z przekonaniami Bensona (1999), „The choice whether to define 0^0 is based on convenience, not on correctness.[13] (Wybór czy definiować 0^0 jest podyktowany wygodą, a nie poprawnością).
  • Inni twierdzą, że 0^0 jest równe 1. Zgodnie ze s. 408 pracy Knutha (1992), „[it] has to be 1” (musi być równa 1), choć kontynuuje on: „Cauchy had good reason to consider 0^0 as an undefined limiting form” (Cauchy miał dobry powód, by uważać 0^0 za nieokreśloną postać graniczną) oraz „in this much stronger sense, the value of 0^0 is less defined than, say, the value of 0 + 0” (w tym dużo silniejszym sensie wartość 0^0 jest słabiej określona, niż powiedzmy wartość 0 + 0; wyróżnienia oryginalne)[14]

Debata trwa od przynajmniej początków XVII wieku. Wówczas większość matematyków zgadzała się z tym, że 0^0 = 1, jednak w 1821 Cauchy[15] umieścił 0^0 wraz z wyrażeniami postaci \tfrac{0}{0} w tablicy wyrażeń nieoznaczonych. W latach 30. XIX wieku Libri[16][17] opublikował nieprzekonujący dowód, iż 0^0 = 1, w czym wsparł go Möbius[18] błędnie twierdząc, że \lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1, jeżeli \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0. Komentator, który podpisał się wyłącznie literą „S” podał kontrprzykład (e^{-1/t})^t (który może być uzyskany z jednego z powyższych przykładów przyjmując a = 1), który uciszył na jakiś czas debatę z oczywistym wnioskiem, iż 0^0 nie powinno być definiowane. Więcej szczegółów można znaleźć w pracy Knutha (1992)[14].

Języki programowania i kalkulatory[edytuj | edytuj kod]

Wśród języków programowania komputerów, które przypisują 0^0 wartość 1[19], można wymienić bc, Haskell, J, Java, JavaScript, LISP, MATLAB, ML, Perl, PHP, Python, R, Ruby, Scheme, czy SQL. W .NET Framework metoda System.Math.Pow traktuje 0^0 jak 1.

Wśród aplikacji arkuszy kalkulacyjnych Microsoft Excel generuje błąd przy próbie wyznaczenia 0^0, podczas gdy OpenOffice.org w wersji 3 zwraca 1. Google Docs Spreadsheet również zwraca 1.

Kalkulator systemu Microsoft Windows, Wyszukiwarka Google[20], Derive oraz PARI/GP obliczają 0^0 równe 1.

Maple upraszcza a^0 do 1, zaś 0^a do 0 nawet, gdy nie nałożono żadnych ograniczeń na a (uproszczenia te są poprawne tylko dla a \ne 0), z kolei 0^0 ma wartość 1.

Mathematica upraszcza a^0 do 1 nawet, gdy brak ograniczeń dla a. Nie upraszcza jednak 0^a i przyjmuje, iż 0^0 jest symbolem nieoznaczonym.

Sage upraszcza a^0 do 1 nawet, jeżeli nie nie ograniczono w żaden sposób a. Nie upraszcza 0^a i przyjmuje, że 0^0 ma wartość 1.

Kalkulator TI-84 zwraca błąd dziedziny (Domain Error) podczas rozwiązywania 0^0, lecz TI-89 zwraca 1. TI-89 Titanium zwraca wartość undef.

Notacja[edytuj | edytuj kod]

Jak wspomniano na początku, potęgowanie zapisuje się zwykle, umieszczając wykładnik w indeksie górnym za podstawą, np. x^y. Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosuje się często zapisy x\hat{\ }y, x**y lub x\uparrow y.

W przypadku, gdy podstawą potęgi jest liczba e (podstawa logarytmu naturalnego), to zamiast zapisu e^x stosuje się często zapis \exp(x) (pomijając niekiedy nawiasy), gdyż dla liczb rzeczywistych potęgi liczby e pokrywają się z wartościami funkcji \exp.

Funkcje[edytuj | edytuj kod]

Choć zapis f^n(x) dla n \in \mathbb N może oznaczać (f(x))^n, czyli potęgę obrazu (patrz niżej), to jednak jeśli przeciwdziedzina funkcji zawiera się w jej dziedzinie, to zapis f^n(x) oznacza zwykle n-krotne złożenie funkcji samej ze sobą, czyli jej n-tą iterację, tzn.

f^3 = f \circ f \circ f

lub dokładniej

f^3(x) = f(f(f(x)))\;.

Wtedy w szczególności, f^{-1} oznacza funkcję odwrotną do funkcji f, oznaczeniem tym zapisuje się również przeciwobraz funkcji. Ujemny, różny od -1, indeks górny oznacza już zwykle potęgę obrazu.

W przypadku funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przyjęła się konwencja według której \sin^n x oznacza (\sin x)^n dla n>0 oraz \sin^{-1} x=\arcsin x. Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu: \log^3(x) = (\log x)^3.

Z kolei podobny zapis f^{(n)}(x) oznacza najczęściej n-tą pochodną funkcji.

Programowanie[edytuj | edytuj kod]

Niżej znajdują się oznaczenia potęgowania stosowane w niektórych językach programowania:

Choć w języku (Turbo) Pascal nie ma standardowej funkcji potęgowania, można ją zdefiniować następująco:

function power(x, y : real) : real;
begin
   power := exp(ln(abs(x))*y);
end;

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Macierze[edytuj | edytuj kod]

Potęgę naturalną, a nawet całkowitą, łatwo zdefiniować dla macierzy kwadratowych, naśladując powyższe obserwacje: jest to wielokrotne mnożenie dla wykładników dodatnich i odwracanie dla wykładników ujemnych. Podniesienie dowolnej macierzy do potęgi zerowej to zgodnie z oczekiwaniami macierz jednostkowa.

Dla macierzy kwadratowych można określić funkcję \exp wzorem

\exp \mathbf A = \sum_{k=0}^\infty{\mathbf A^k \over k!}.

Tak jak dla liczby rzeczywistych, czy zespolonych, szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych.

Dla macierzy diagonalnych wystarczy obliczyć wartości \exp x na przekątnej: jeżeli

\mathbf A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix},

to

\exp \mathbf A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.

Jeżeli \mathbf A = \mathbf {UDU}^{-1} i \mathbf D jest diagonalna, to:

\exp \mathbf A = \mathbf U \exp(\mathbf D) \mathbf U^{-1}

Dla macierzy nilpotentnej \mathbf N wartość \exp \mathbf N można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na szereg potęgowy, gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:

\exp \mathbf N = \mathbf I + \mathbf N + \tfrac{1}{2!} \mathbf N^2 + \tfrac{1}{3!} \mathbf N^3 + \dots + \tfrac{1}{(q-1)!} \mathbf N^{q-1},

jeśli \forall_{k \geqslant q}\; \mathbf N^k = \mathbf 0

Zbiory i liczby kardynalne[edytuj | edytuj kod]

Zapis A^n, gdzie A jest zbiorem, a n liczbą naturalną oznacza najczęściej n-krotny iloczyn kartezjański zbioru A.

Zapis A^B, gdzie A i B są zbiorami, oznacza zbiór wszystkich funkcji f o dziedzinie B i przeciwdziedzinie A. Zastępując zbiory ich mocami otrzymuje się definicje potęgowania liczb kardynalnych.

Wielokrotne potęgowanie[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: notacja strzałkowa.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Potęgi liczby 10 to liczby kończące się pewną liczbą zer. Dla skrócenia ich zapisu stosuje się tzw. przedrostki układu SI, w szczególności w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych.

Z racji konstrukcji współczesnych komputerów w informatyce często spotyka się potęgi liczby 2. Na przykład 2^n jest liczbą możliwych wartości zmiennej składającej się z n bitów (każdy bit może mieć wartość 0 lub 1, razem jest ich n). Z tego powodu zwykle operuje się też wielokrotnościami liczby 2 (bądź jej pewnej potęgi). Osiem bitów tworzy oktet (lub bajt), szesnaście – słowo. Większe wartości również są wielokrotnościami liczby 2, nie zaś 10, jak wskazywałyby ich nazwy, np. kilobajt to 1 024, a nie 1 000 bajtów (Dla odróżnienia tych wielkości opracowano tzw. przedrostki dwójkowe).

Funkcji wykładnicza \exp, czyli funkcja wykładnicza o podstawie e, jest szeroko stosowana w matematyce, pojawiając się szczególnie często w analizie matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa.

Potęgowanie modulo jest używane w kryptografii, np. w algorytmie RSA.

Algorytmika[edytuj | edytuj kod]

Złożoność obliczeniowa naiwnego algorytmu potęgowania (zob. wzór po (2)) wynosi \operatorname{O}(n). Istnieje znacznie szybszy algorytm, nazywany algorytmem szybkiego potęgowania, korzystający z własności dwójkowego systemu liczbowego, którego złożoność obliczeniowa jest rzędu \operatorname{O}(\log n).

Historia[edytuj | edytuj kod]

Dawniej stosowano nazwy potęg oparte na kwadracie i sześcianie[21]

potęga nazwa arabska nazwa Diofantosa
a Radix (pierwiastek) Latus (flanka)/Radix
a2 Quadratum (kwadrat) Quadratum
a3 Cubus (sześcian) Cubus
a4 Quadratoquadratum/Biquadratum Quadratoquadratum
a5 Surdesolidum (głucha bryła) Quadratocubus
a6 Quadratum cubi Cubobubus
a7 Surdesolidum secundum Quadratoquadratocubus
a8 Quadrati quadrati quadratum Quadratocubocubus
a9 Cubus cubi Cubocubocubus
a10 Quadratum surdesolidi
a11 Surdesolidum tertium
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Zapis potęgowania przy użyciu indeksu górnego wprowadził Kartezjusz w XVII wieku.
  2. lub: jedyną mierzalną w sensie Lebesgue'a
  3. Można też przyjąć inną definicję, np. \ln(x) = \int_1^x \tfrac{dt}{t}
  4. Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może dać w wyniku liczbę wymierną, np. \sqrt{2}^{\sqrt{2}} może być wymierna, jeśli nie jest, to na mocy twierdzenia Gelfonda-Schneidera wymierna jest liczba (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^2.
  5. Zob. twierdzenie Gelfonda-Schneidera
  6. Potęga ujemnej liczby rzeczywistej wymaga osobnego potraktowania. Potęgę a^n w ogólnym przypadku należy traktować jako e^{n \ln a}. Jednak gdy wykładnik jest wymierny i jego mianownik jest nieparzysty można napisać a^{k/(2n+1)}=\sqrt[2n+1]{a^k}, gdzie pierwiastek jest pierwiastkiem arytmetycznym. Obejmuje to także wykładniki całkowite. W przeciwnym wypadku potęga nie jest liczbą rzeczywistą. Dla wykładników postaci 1/(2n) można przyjąć:
    a^{\frac{1}{2n}}=\pm i \sqrt[2n]{-a}
    Zauważmy, że ta potęga ma dwie wartości (tworzą one wraz z pozostałymi pierwiastek algebraiczny).
  7. N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Theory of Sets, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
  8. „Some textbooks leave the quantity \scriptstyle 0^0 undefined, because the functions \scriptstyle x^0 and \scriptstyle 0^x have different limiting values when \scriptstyle x decreases to \scriptstyle 0. But this is a mistake. We must define \scriptstyle x^0 = 1, for all \scriptstyle x, if the binomial theorem is to be valid when \scriptstyle x = 0, y = 0, and/or \scriptstyle x = -y. The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function \scriptstyle 0^x is quite unimportant” (Niektóre podręczniki pozostawiają wielkość \scriptstyle 0^0 niezdefiniowaną, ponieważ funkcje \scriptstyle x^0 i \scriptstyle 0^x mają inne wartości w granicy dla \scriptstyle x malejącego do \scriptstyle 0. Jest to jednak błąd. Musimy zdefiniować \scriptstyle x^0 = 1 dla wszystkich \scriptstyle x, jeżeli twierdzenie o dwumianie ma być poprawne dla \scriptstyle x = 0, y = 0, czy \scriptstyle x = -y. Twierdzenie o dwumianie jest zbyt ważne, by było jakkolwiek ograniczane! Z drugiej strony funkcja \scriptstyle 0^x jest dość mało ważna)Binomial coefficients. W: Matematyka konkretna. Wyd. pierwsze. Addison Wesley Longman Publishing Co, 1989-01-05, s. 162. ISBN 0-201-14236-8.
  9. S. C. Malik: Mathematical Analysis. New York: Wiley, 1992, s. 223. ISBN 978-8122403237. Cytat: In general the limit of \scriptstyle \varphi(x)/\psi(x) when \scriptstyle x = a in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division \scriptstyle (0/0) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are \scriptstyle \infty/\infty,\; 0 \times \infty,\; \infty - \infty,\; 0^0,\; 1^\infty and \scriptstyle \infty^0 (W ogólności granica \scriptstyle \varphi(x)/\psi(x) dla \scriptstyle x = a w przypadku, gdy granice obu funkcji są równe granicy licznika podzielonego przez mianownik. Co dzieje się, gdy obie granice są zerowe? Dzielenie \scriptstyle (0/0) traci wtedy sens. Każdy przypadek podobny do poprzedniego nazywa się postacią nieoznaczoną. Innymi postaciami tego typu są \scriptstyle \infty/\infty,\; 0 \times \infty,\; \infty - \infty,\; 0^0,\; 1^\infty oraz \scriptstyle \infty^0).
  10. L. J. Paige. A note on indeterminate forms. . 61 (3), s. 189-190, marzec 1954. doi:10.2307/2307224. 
  11. (…) Let's start at \scriptstyle x = 0. Here \scriptstyle x^x is undefined.” (Zacznijmy od \scriptstyle x = 0. \scriptstyle x^x jest tutaj nieokreślone.”) Mark D. Meyerson, The Xx Spindle, Mathematics Magazine 69, nr 3 (czerwiec 1996), ss. 198-206.
  12. Wśród przykładów można wymienić Edwardsa i Penny'ego (1994). Calculus, wyd. IV, Prentice-Hall, s. 466 oraz Keedy'ego, Bittingera i Smitha (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, s. 32.
  13. Donald C. Benson, The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies. New York Oxford University Press (UK), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9
  14. 14,0 14,1 Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 nr 5 (maj 1992), ss. 403–422.
  15. Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). W jego Oeuvres Complètes, seria 2, tom 3.
  16. Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.
  17. Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.
  18. A. F. Möbius, Beweis der Gleichung 0^0 = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), 134–136.
  19. For example, see Rationale for International Standard – Programming Languages – C. , April 2003. 
  20. http://www.google.co.uk/search?q=0%5E0
  21. Christian Wolff: Elementa matheseos universae. 1742.