Potęgowanie

Potęgowanie – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, zaś liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. Wynik potęgowania to potęga elementu.

Na przykład:

$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$

gdzie podstawą potęgi jest liczba 3, a wykładnikiem liczba 4.

Drugą potęgę nazywa się często kwadratem, a trzecią – sześcianem (zwykle w stosunku do wartości liczbowych, choć nie tylko). Określenia te nawiązują do geometrii, gdyż pole powierzchni kwadratu o boku długości a wynosi a², a objętość sześcianu o tym samym boku jest równa a³.

Potęga naturalna

Niech a oraz n będą liczbami naturalnymi. Symbol aⁿ oznacza wtedy n-krotne mnożenie elementu a przez siebie, czyli

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_n$

i czyta się go a podniesione do n-tej potęgi, a do n-tej potęgi lub nawet a do n-tej. W szczególności

$a^1 = a\;$

(1)

Z definicji potęgi wynika, iż 0ⁿ = 0 oraz 1ⁿ = 1 dla dowolnego $n \in \mathbb N_+$.

Definicja ta ma sens, jeżeli elementy a pochodzą ze zbioru, w którym istnieje dobrze określone mnożenie (bądź składanie, zob. definicję grupy) elementów: najmniejsze wymagania względem niego, to bycie dwuargumentowym działaniem łącznym. W szczególności a może być również elementem dobrze znanych struktur takich jak liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, czy zespolone.

Zasadniczą własnością potęgi jest, iż dla dowolnych $m, n \in \mathbb N$ zachodzi

$a^{m + n} = a^m \cdot a^n$.

(2)

Wynika ona z faktu, że

$a^{m + 1} = a^m \cdot a$

W tym przypadku 0 można zaliczyć do liczb naturalnych: ponieważ

$a^m = a^{m + 0} = a^m \cdot a^0$,

to przyjmuje się, że

a0 = 1

(3)

Przypadek 0⁰ nie jest jednoznaczny, omówiono go oddzielnie w dalszej części artykułu.

Potęga całkowita

Definicję potęgowania łatwo rozszerza się na wykładniki ujemne: wyżej wystarczy przyjąć, iż $m, n \in \mathbb Z$. Z powyższych obserwacji wynika, iż

$1 = a^0 = a^{1 + (-1)} = a \cdot a^{-1}$

Z definicji elementu odwrotnego wynika, że $a^{-1} = \tfrac{1}{a}$, o ile a należy do zbioru, w którym określono dzielenie, przy czym $a \ne 0$ (konieczne jest i wystarczy, by a było elementem odwracalnym). Ogólniej:

$a^{-n} = \tfrac{1}{a^n} = (\tfrac{1}{a})^n$

dla $n \in \mathbb Z$.

Warto zauważyć, że dla $m, n \in \mathbb Z$ prawdziwa jest również własność

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

(4)

Pierwiastek, potęga wymierna

Własność (4) jest prawdziwa także dla wykładników wymiernych. Niech $m, n \in \mathbb Z$ będą względnie pierwsze, przy czym n > 0, wówczas $\tfrac{m}{n} \in \mathbb Q$ jest ułamkiem nieskracalnym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby nieujemnej a nazywa się rozwiązanie równania xⁿ = a. Oznacza się je symbolem $\sqrt[n]{a}$, a zamiast $\sqrt[2]{a}$ pisze się zwykle po prostu $\sqrt{a}$. Jeżeli a < 0, to pierwiastkiem stopnia nieparzystego k nazywamy liczbę $-\sqrt[k]{-a}$. Dla k parzystego taki pierwiastek rzeczywisty nie istnieje, natomiast zespolony będzie postaci $i \sqrt[k]{-a}$. Pierwiastek k-tego stopnia z liczby a oznaczamy również jako a^{1 / k}

Powyższe obserwacje podsumowuje wzór

$a = a^1 = a^{n \cdot 1/n} = (a^n)^{1/n}$,

(5)

z którego widać, iż podniesienie elementu do potęgi 1 / n znosi działanie potęgi o wykładniku n, zatem pierwiastkowanie można traktować jako działanie odwrotne względem aⁿ.

W ten sposób definiuje się potęgę o wykładniku wymiernym wzorem

$a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}$

(6)

dla wszystkich m,n dla których ma on sens (patrz dalej).

Potęga rzeczywista

Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7

Dla wykładników wymiernych potęgowanie można było traktować (o ile było wykonalne) jako złożenie potęgowania naturalnego (wielokrotne mnożenie), potęgi o wykładniku -1 (odwracania elementu) i odwrotności potęgi (pierwiastkowania). Definicja potęgowania dodatniej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym jest nieco bardziej zawiła, gdyż liczba niewymierna nie może być uzyskana tą drogą.

Wystarczy jednak w niej uwzględnić, iż liczby rzeczywiste są możliwe do uzyskania jako granice ciągów liczb wymiernych (tzw. ciągi Cauchy'ego). Na podstawie powyższych rozważań zdefiniowana jest potęga x^y dla nieujemnych $x \in \mathbb R$, oraz $y \in \mathbb Q$. Jeżeli y jest liczbą niewymierną, tzn. $y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$, to wystarczy skonstruować ciąg liczb wymiernych $y_1, y_2, \dots$ o granicy w y i przyjąć

$x^y = \lim_{n \to \infty}~x^{y_n}$

Z własności granic tak określona potęga niewymierna istnieje i spełnia żądane wcześniej własności (1-6). Potęgę rzeczywistą można też równoważnie zdefiniować jako

$x^y = \sup \{x^p: p < y \mbox{ i } p \in \mathbb Q\}$.

W obu przypadkach korzysta się z ciągłości.

Funkcja wykładnicza

Jeżeli a > 0, to układ równań funkcyjnych (por. (1) i (2)):

$\begin{cases} f_a(x + y) = f_a(x) \cdot f_a(y) \\ f_a(1) = a \end{cases}$

definiuje jedyną (wszędzie) ciągłą funkcję $f_a: \mathbb R \to \mathbb R$, gdzie $a \in \mathbb R$ dla której zachodzi

$f_a(x) = a^x\;$.

Funkcję f_a nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie a. Z powodu dogodnych własności liczby e (podstawy logarytmu naturalnego) przyjęło się definiować funkcję wykładniczą o tej podstawie, a następnie, za pomocą logarytmu naturalnego, definiuje się potęgowanie nieujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku rzeczywistym. Jest on o tyle wygodniejszy od poprzedniej definicji, iż łatwo uogólnia się na liczby zespolone, a nawet inne struktury (np. macierze kwadratowe, zob. dalej). Funkcja (elementarna) exp  może być zadana za pomocą szeregu potęgowego

$\exp(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!}$,

który jest zbieżny dla dowolnego $x \in \mathbb R$ (a nawet $x \in \mathbb C$). Zachodzą własności (1-6), a w szczególności definiujące potęgę własności (2-3):

$\exp(x + y) = \exp(x) \cdot \exp(y)$

oraz

$\exp(0) = 1\;$.

Dowodzi się również ciągłości i monotoniczności funkcji exp  oraz tego, iż

$\exp(1) = e\;$.

Mając daną funkcję wykładniczą definiuje się funkcję logarytmu naturalnego ln(x), będącą przypadkiem szczególnym funkcji logarytmicznej, jako funkcją odwrotną do exp(x) dla $x \in \mathbb R$ (stąd również i ona jest ciągła oraz monotoniczna). Następnie definiuje się potęgę wzorem

$x^y = \exp(y \ln(x))\;$,

który czyni zadość wymaganym własnościom potęgi i jest dobrze określony dla x > 0 oraz $y \in \mathbb R$.

Ujemna podstawa

Równanie xⁿ = a nie ma rozwiązań rzeczywistych dla a < 0 oraz parzystego n, choć ma jedno dla n nieparzystego. W oparciu o ten fakt często rozszerza się definicję pierwiastka (potęgi o wykładniku wymiernym) w następujący sposób: potęga ujemnej liczby rzeczywistej o wykładniku całkowitym jest liczbą rzeczywistą, potęgi o wykładnikach wymiernych, których mianownik jest liczbą nieparzystą, określa się za pomocą pierwiastków. Zasadniczym problemem jest fakt, iż nie istnieje liczba rzeczywista x będąca rozwiązaniem równania x² = − 1, dlatego definicja potęgi dla wykładnika będącego liczbą parzystą (licznik i mianownik są względnie pierwsze) wymaga użycia jednostki urojonej i będącej jednym z rozwiązań wspomnianego równania.

Metoda korzystająca z logarytmów zawodzi, ponieważ e^x > 0 dla dowolnej $x \in \mathbb R$, stąd dla $a \leqslant 0$ liczba ln y nie jest rzeczywista (z drugiej strony można zdefiniować potęgi zespolone liczb ujemnych wybierając logarytm zespolony z y.

Do określenia potęgi ujemnej liczby rzeczywistej nie można również skorzystać z metody wykładnika wymiernego, gdyż opiera się ona na ciągłości. Funkcja f(x) = a^x ma dokładnie jedno rozszerzenie ciągłe z liczb wymiernych w liczby rzeczywiste dla dowolnego a > 0, lecz okazuje się, że jeżeli a < 0, to funkcja f nie jest ciągła nawet w zbiorze liczb wymiernych, w którym została określona.

Na przykład, jeśli a = − 1, to pierwiastkiem n-tego stopnia z − 1 dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n > 0 jest − 1. Niech n będzie nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą, wówczas ( − 1)^{m / n} = − 1 dla m nieparzystych i ( − 1)^{m / n} = 1 dla m parzystych. Stąd zbiór liczb wymiernych q, dla których ( − 1)^q = 1 jest gęsty w zbiorze liczb wymiernych, podobnie zbiór tych q, dla których ( − 1)^q = − 1, co oznacza, że funkcja ( − 1)^q jest nieciągła w dowolnym punkcie q należącym do zbioru liczb wymiernych, w którym została zdefiniowana.

Liczby zespolone

Wykładnik zespolony

Funkcja wykładnicza e^z może być zdefiniowana jako granica ciągu (1 + z/N)^N, dla N dążącego do nieskończoności, stąd e^iπ jest granicą ciągu (1 + iπ/N)^N. W animacji przedstawiono zwiększające się w zakresie od 1 do 100 wartości N. Wartość (1 + iπ/N)^N jest przedstawiona jako wynik N kolejnych mnożeń na płaszczyźnie zespolonej, gdzie ostatni punkt jest właściwą wartością tego ciągu. Można zaobserwować, że ciąg (1 + iπ/N)^N dąży do −1 wraz ze wzrostem N. Stąd e^iπ = −1, równanie to znane jest jako tożsamość Eulera.

Kluczem do zrozumienia exp(ix) dla rzeczywistych wartości x jest interpretacja geometryczna działań na liczbach zespolonych oraz definicja potęg liczby e, czyli funkcji wykładniczej exp . Niech dany będzie na płaszczyźnie zespolonej trójkąt prostokątny o wierzchołkach $(0, 1, 1 + \tfrac{ix}{n})$. Dla dużych wartości n jest nieomalże wycinkiem kołowym o rozwartości kąta środkowego równej $\tfrac{x}{n}$ radianów. Trójkąty $(0, (1 + \tfrac{ix}{n})^k, (1 + \tfrac{ix}{n})^{k + 1})$ są podobne dla wszystkich k. Stąd dla dużych n punkt graniczny ciągu $(1 + \tfrac{ix}{n})^n$ jest punktem okręgu jednostkowego, którego kąt liczony od dodatniej osi rzeczywistej wynosi x radianów. Współrzędnymi biegunowymi (postacią trygonometryczną) tego punktu są 1 = (r,θ) = (1,x), a współrzędnymi prostokątnymi (postacią algebraiczną) para (cos x,sin x). W ten sposób 1 = e^ix = cos x + isin x. Zależność ta nazywana jest wzorem Eulera i łączy ona algebrę z trygonometrią poprzez liczby zespolone.

Rozwiązaniem równania e^z = 1 są całkowite wielokrotności 2πi:

$\{z: e^z = 1\} = \{2k\pi i: k \in \mathbb Z\}$.

Ogólniej, jeśli e^b = a, to każde rozwiązanie e^z = a może być uzyskane przez dodanie całkowitej wielokrotności 2πi do b:

$\{z: e^z = a\} = \{b + 2k\pi i: k \in \mathbb Z\}$.

Zespolona funkcja wykładnicza jest zatem funkcją okresową o okresie głównym 2πi.

Ostatecznie:

$e^{\pi i} = -1\;$,

$e^{x + iy} = e^x(\cos y + i \sin y)\;$.

Ze wzoru Eulera wynika też, że funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa spełniają zależności:

$\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \qquad \sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$.

Przed odkryciem liczb zespolonych funkcje sinusa i cosinusa definiowano geometrycznie, powyższe wzory upraszczają skomplikowane wzory na sumę kątów funkcji trygonometrycznych do prostego wzoru na potęgowanie:

$e^{i(x+y)} = e^{ix} e^{iy}\;$.

W ten sposób potęgowanie wykładników zespolonych sprowadza wiele problemów trygonometrycznych do zagadnień algebraicznych.

Potęgę $e^{x + iy}\;$ oblicza się jako $e^x e^{iy}\;$, gdzie czynnik rzeczywisty $e^x\;$ jest modułem, zaś $e^{iy}\;$ to kierunek (wraz ze zwrotem, $y\;$ nazywany jest argumentem) liczby $e^{x + iy}\;$.

Potęga zespolona

Jeżeli a jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a z dowolną liczbą zespoloną, to potęgę a^z definiuje się wzorem

$a^z = e^{z \ln a}\;$,

gdzie x = ln a jest jedynym rozwiązaniem rzeczywistym równania e^x = a.

Jeżeli a jest liczbą zespoloną, to napotyka się pewne trudności: definiuje się albo funkcje nieciągłe, albo wielowartościowe. W dziedzinie zespolonej ln(x) jest funkcją wielowartościową, a różnica między jej wartościami wynosi 2kπi dla $k \in \mathbb C$, to i funkcja wykładnicza jest określona niejednoznacznie miewając nieskończoną liczbę wartości.

Niech z = Ln(x) będzie dowolnie wybraną gałęzią logarytmu x, wówczas:

$x^y = e^{y (z + 2k\pi i)} = e^{yz} e^{y 2k\pi i}\;$,

czyli moduł x^y wynosi wtedy $\exp(y \mathrm{Ln}(x)) \in \mathbb R$, zaś jej argument przyjmuje dowolną z wartości 2kπy. Potęga będzie miała n wartości tylko wtedy, gdy y = c / n, gdzie c i n są względnie pierwsze). Jeżeli $y \in \mathbb Z$, to wygodnie jest korzystać ze wzoru de Moivre'a.

Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym 0⁰ i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie tych warunków i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.

$((-1)^2)^{\tfrac{1}{2}} = 1 \ne -1 = (-1)^{2 \cdot \tfrac{1}{2}}$.

Funkcja potęgowa

Funkcja wykładnicza zdefiniowana jest przez potęgowanie, gdzie zmienną jest wykładnik, a podstawa jest stałą. Sytuacja odwrotna, w której ustalony jest wykładnik, a podstawa jest zmienna również jest funkcją potęgową, co można było zaobserwować wyżej (wzór (5)). Określenie funkcji pierwiastkowej, czyli funkcji potęgowej o wykładniku będącym odwrotnością niezerowej liczby całkowitej przebiega identycznie jak wyżej. Problemem znowu staje się zdefiniowanie funkcji o wykładniku niewymiernym, jednak pokonuje się ją analogicznie i dowodzi się wielu jej własności (ciągłość, monotoniczność na przedziałach).

Własności

Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym, np. $8 = 2^3 \neq 3^2 = 9$. Nie jest także łączne, np. $2^{(3^2)} = 2^9 = 512$, lecz ${(2^3)}^2 = 8^2 = 64$.

Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika właśnie z nieprzemienności potęgowania. Zachodzą następujące wzory:

• $a^{r+s} = a^r \cdot a^s$,
• $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$.

Jeżeli mnożenie jest przemienne, to zachodzi również

• $(a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r$.

Jeżeli a^s jest elementem odwracalnym, to

• $a^{r-s} = \frac{a^r}{a^s}$.

Dla r = 0 powyższy wzór oznacza:

• $a^{-s} = \frac{1}{a^s}$.

Jeżeli tak b jak i b^r są odwracalne, to

• $(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r}$

Podstawa	Wykładnik	Potęga
całkowita dodatnia	całkowity nieujemny	całkowita dodatnia
całkowita	całkowity nieujemny	całkowita
wymierna dodatnia	całkowity	wymierna dodatnia
niewymierna dodatnia	rzeczywisty	rzeczywista dodatnia
algebraiczna	wymierny	algebraiczna
algebraiczna różna od 0 i 1	zespolony, który nie jest liczbą wymierną	przestępna
przestępna	wymierny różny od 0	przestępna
rzeczywista dodatnia	rzeczywisty	rzeczywista dodatnia
rzeczywista ujemna	rzeczywisty	zespolona
zespolona	całkowity	zespolona (jednoznaczna)
zespolona	wymierny	zespolona (skończenie wiele wartości)
zespolona	zespolony nie będący liczbą wymierną	zespolona (nieskończenie wiele wartości)

Zero do potęgi zerowej

^y; czerwone krzywe dają różne granice, gdy (x, y) dąży do (0, 0), podczas gdy wszystkie zielone krzywe dają w granicy 1.

Większość autorów zgadza się z zamieszczonymi w poniższych listach stwierdzeniami dotyczącymi 0⁰, lecz dochodzą do różnych wniosków, czy definiować wyrażenie 0⁰, czy też nie (zob. następną podsekcję).

W większości przypadków, które nie wykorzystują ciągłości (na przykład, ograniczając się wyłącznie do wykładników całkowitych) interpretowanie 0⁰ jako 1 upraszcza wzory i eliminuje konieczność rozważania przypadków szczególnych w twierdzeniach (por. przypadki niżej, które wykorzystują ciągłość). Na przykład:

• postrzeganie 0⁰ jako iloczynu pustego zer sugeruje wartość równą 1;
• interpretacją kombinatoryczną 0⁰ jest liczba pustych krotek elementów zbioru pustego: istnieje dokładnie jedna pusta krotka;
• równoważnie interpretacją teoriomnogościową 0⁰ jest liczba funkcji ze zbioru pustego w zbiór pusty: istnieje dokładnie jedna taka funkcja – funkcja pusta;
• znacząco upraszcza teorię wielomianów i szeregów potęgowych dzięki temu, iż wyraz wolny może być zapisany jako ax⁰ dla dowolnego x, np.
  • wzór na współczynniki iloczynu wielomianów straciłby na prostocie, gdyby wyrazy wolne musiałyby być traktowane oddzielnie;
  • dla dzielników zera (elementów pierścieni spełniających $a,b \ne 0$, ale ab = 0) z własności potęgowania otrzymuje się 1 = a⁰b⁰ = (ab)⁰ = 0⁰;
  • tożsamości postaci $\textstyle \tfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ i $\textstyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{x^n}{n!}$ nie są poprawne dla x = 0, jeśli $0^0 \ne 1$.
  • twierdzenie o dwumianie $\textstyle(1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k$ nie jest poprawne dla x = 0, jeżeli $0^0 \ne 1$;
• w rachunku różniczkowym wzór na różniczkę jednomianu $\textstyle\tfrac{\operatorname d}{\operatorname dx} x^n = nx^{n-1}$ nie jest poprawny dla n = 1 w punkcie x = 0, gdy $0^0 \ne 1$.

Z drugiej strony 0⁰ musi być uważane za wyrażenie nieoznaczone w kontekstach, gdzie wykładnik zmienia się w sposób ciągły:

• jeżeli f(t) i g(t) są funkcjami o wartościach rzeczywistych zbiegającymi do 0 (gdy t zbiega do liczby rzeczywistej bądź $\pm\infty$), gdzie f(t) > 0, to funkcja f(t)^g(t) nie musi zbiegać do 1. Rzeczywiście, w zależności od f i g granica f(t)^g(t) może być dowolną nieujemną liczbą rzeczywistą bądź $+\infty$ albo może być nieokreślona. Granice zawierające operacje algebraiczne mogą być często wyznaczone przez zamianę podwyrażeń ich granicami; jeśli wyrażenie wynikowe nie określa oryginalnej granicy, to wyrażenie nazywa się nieoznaczonym (ma postać nieoznaczoną)

Przykładowo funkcje niżej są postaci f(t)^g(t), gdzie $f(t), g(t) \to 0$ dla $t \to 0^+$ (zob. granica jednostronna), ale ich granice nie są równe:

$\lim_{t \to 0^+} t^t = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t^2})^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} (e^{-1/t})^{at} = e^{-a}$.

Tak więc 0⁰ jest wyrażeniem nieoznaczonym. Takie zachowanie pokazuje, że funkcja x^y dwóch zmiennych choć jest ciągłą na zbiorze {(x,y):x > 0}, nie może być rozszerzona do funkcji ciągłej na dowolnym zbiorze zawierającym (0,0), nie ważne jak zdefiniuje się 0⁰.

• Funkcja z^z jest określona dla niezerowych liczb zespolonych z przez wybranie gałęzi log z i przyjęcie z^z: = e^zlog z, ponieważ nie ma gałęzi log z zdefiniowanej w z = 0, tylko w otoczeniu zera. Nie istnieje funkcja holomorficzna określona w otoczeniu zera, która byłaby zgodna z z^z dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych z.

Historia różnych punktów widzenia

Różni autorzy interpretują powyższą sytuację na różne sposoby:

• Niektórzy argumentują, że najlepsza wartość 0⁰ zależy od kontekstu, przez co zdefiniowanie jej raz na zawsze jest problematyczne. Zgodnie z przekonaniami Bensona (1999), „The choice whether to define 0⁰ is based on convenience, not on correctness.” (Wybór czy definiować 0⁰ jest podyktowany wygodą, a nie poprawnością).
• Inni twierdzą, że 0⁰ jest równe 1. Zgodnie ze s. 408 pracy Knutha (1992), „[it] has to be 1” (musi być równa 1), choć kontynuuje on: „Cauchy had good reason to consider 0⁰ as an undefined limiting form” (Cauchy miał dobry powód, by uważać 0⁰ za nieokreśloną postać graniczną) oraz „in this much stronger sense, the value of 0⁰ is less defined than, say, the value of 0 + 0” (w tym dużo silniejszym sensie wartość 0⁰ jest słabiej określona, niż powiedzmy wartość 0 + 0; wyróżnienia oryginalne)

Debata trwa od przynajmniej początków XVII wieku. Wówczas większość matematyków zgadzała się z tym, że 0⁰ = 1, jednak w 1821 Cauchy umieścił 0⁰ wraz z wyrażeniami postaci $\tfrac{0}{0}$ w tablicy wyrażeń nieoznaczonych. W latach 30. XIX wieku Libri opublikował nieprzekonujący dowód, iż 0⁰ = 1, w czym wsparł go Möbius błędnie twierdząc, że $\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1$, jeżeli $\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0.$ Komentator, który podpisał się wyłącznie literą „S” podał kontrprzykład (e ^{− 1 / t})^t (który może być uzyskany z jednego z powyższych przykładów przyjmując a = 1), który uciszył na jakiś czas debatę z oczywistym wnioskiem, iż 0⁰ nie powinno być definiowane. Więcej szczegółów można znaleźć w pracy Knutha (1992).

Języki programowania i kalkulatory

Wśród języków programowania komputerów, które przypisują 0⁰ wartość 1, można wymienić bc, Haskell, J, Java, JavaScript, LISP, MATLAB, ML, Perl, PHP, Python, R, Ruby, Scheme, czy SQL. W .NET Framework metoda System.Math.Pow traktuje 0⁰ jak 1.

Wśród aplikacji arkuszy kalkulacyjnych Microsoft Excel generuje błąd przy próbie wyznaczenia 0⁰, podczas gdy OpenOffice.org w wersji 3 zwraca 1. Google Docs Spreadsheet również zwraca 1.

Kalkulator systemu Microsoft Windows, Google search oraz Derive obliczają 0⁰ równe 1.

Maple upraszcza a⁰ do 1, zaś 0^a do 0 nawet, gdy nie nałożono żadnych ograniczeń na a (uproszczenia te są poprawne tylko dla $a \ne 0$), z kolei 0⁰ ma wartość 1.

Mathematica upraszcza a⁰ do 1 nawet, gdy brak ograniczeń dla a. Nie upraszcza jednak 0^a i przyjmuje, iż 0⁰ jest symbolem nieoznaczonym.

Sage upraszcza a⁰ do 1 nawet, jeżeli nie nie ograniczono w żaden sposób a. Nie upraszcza 0^a i przyjmuje, że 0⁰ ma wartość 1.

Kalkulator TI-84 zwraca błąd dziedziny (Domain Error) podczas rozwiązywania 0⁰, lecz TI-89 zwraca 1. TI-89 Titanium zwraca wartość undef.

Notacja

Jak wspomniano na początku potęgowanie zapisuje się jest zwykle umieszczając wykładnik w indeksie górnym za podstawą, np. x^y. Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosuje się często zapisy $x\hat{\ }y$, x * * y lub $x\uparrow y$.

W przypadku, gdy podstawą potęgi jest liczba e (podstawa logarytmu naturalnego), to zamiast zapisu e^x stosuje się często zapis exp(x) (pomijając niekiedy nawiasy), gdyż dla liczb rzeczywistych potęgi liczby e pokrywają się z wartościami funkcji exp .

Funkcje

Choć zapis fⁿ(x) dla $n \in \mathbb N$ może oznaczać (f(x))ⁿ, czyli potęgę obrazu (patrz niżej), to jednak jeśli przeciwdziedzina funkcji zawiera się w jej dziedzinie, to zapis fⁿ(x) oznacza zwykle n-krotne złożenie funkcji samej ze sobą, czyli jej n-tą iterację, tzn.

$f^3 = f \circ f \circ f$

lub dokładniej

$f^3(x) = f(f(f(x)))\;$.

Wtedy w szczególności, f ^{− 1} oznacza funkcję odwrotną do funkcji f, oznaczeniem tym zapisuje się również przeciwobraz funkcji. Ujemny, różny od -1, indeks górny oznacza już zwykle potęgę obrazu.

W przypadku funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przyjęła się konwencja według której sin ⁿx oznacza (sin x)ⁿ dla n > 0 oraz sin  ^{− 1}x = arcsin x. Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu: log ³(x) = (log x)³.

Z kolei podobny zapis f⁽ⁿ⁾(x) oznacza najczęściej n-tą pochodną funkcji.

Programowanie

Niżej znajdują się oznaczenia potęgowania stosowane w niektórych językach programowania:

• x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
• x ^ y: BASIC, J, Matlab, Microsoft Excel, TeX (i większość jego rozszerzeń), większość systemów Computer Algebra System
• x ** y: Ada, Fortran, FoxPro, Perl, Python, Ruby, SAS
• x * y: APL
• Power(x, y): Microsoft Excel
• pow(x, y): C, C++, PHP
• Math.pow(x, y): Java, JavaScript, Modula-3
• Math.Pow(x, y): C#
• (expt x y): Common Lisp, Scheme

Choć w języku (Turbo) Pascal nie ma standardowej funkcji potęgowania, można ją zdefiniować następująco:

function power(x,y : real) : real;
begin
  power := exp(ln(abs(x))*y);
end;

Uogólnienia

Macierze

Potęgę naturalną, a nawet całkowitą, łatwo zdefiniować dla macierzy kwadratowych, naśladując powyższe obserwacje: jest to wielokrotne mnożenie dla wykładników dodatnich i odwracanie dla wykładników ujemnych. Podniesienie dowolnej macierzy do potęgi zerowej to zgodnie z oczekiwaniami macierz jednostkowa.

Dla macierzy kwadratowych można określić funkcję exp  wzorem

$\exp \mathbf A = \sum_{k=0}^\infty{\mathbf A^k \over k!}.$

Tak jak dla liczby rzeczywistych, czy zespolonych, szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych.

Dla macierzy diagonalnych wystarczy obliczyć wartości exp x na przekątnej: jeżeli

$\mathbf A = \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix},$

to

$\exp \mathbf A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.$

Jeżeli $\mathbf A = \mathbf {UDU}^{-1}$ i $\mathbf D$ jest diagonalna, to:

$\exp \mathbf A = \mathbf U \exp(\mathbf D) \mathbf U^{-1}$

Dla macierzy nilpotentnej $\mathbf N$ wartość $\exp \mathbf N$ można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na szereg potęgowy, gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:

$\exp \mathbf N = \mathbf I + \mathbf N + \tfrac{1}{2!} \mathbf N^2 + \tfrac{1}{3!} \mathbf N^3 + \dots + \tfrac{1}{(q-1)!} \mathbf N^{q-1}$,

jeśli $\forall_{k \geqslant q}\; \mathbf N^k = \mathbf 0$

Zbiory i liczby kardynalne

Zapis Aⁿ, gdzie A jest zbiorem, a n liczbą naturalną oznacza najczęściej n-krotny iloczyn kartezjański zbioru A.

Zapis A^B, gdzie A i B są zbiorami, oznacza zbiór wszystkich funkcji f o dziedzinie B i przeciwdziedzinie A. Zastępując zbiory ich mocami otrzymuje się definicje potęgowania liczb kardynalnych.

Zastosowania

Potęgi liczby 10 to liczby kończące się pewną liczbą zer. Dla skrócenia ich zapisu stosuje się tzw. przedrostki układu SI, w szczególności w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych.

Z racji konstrukcji współczesnych komputerów w informatyce często spotyka się potęgi liczby 2. Na przykład 2ⁿ jest liczbą możliwych wartości zmiennej składającej się z n bitów (każdy bit może mieć wartość 0 lub 1, razem jest ich n). Z tego powodu zwykle operuje się też wielokrotnościami liczby 2 (bądź jej pewnej potęgi). Osiem bitów tworzy oktet (lub bajt), szesnaście – słowo. Większe wartości również są wielokrotnościami liczby 2, nie zaś 10, jak wskazywałyby ich nazwy, np. kilobajt to 1 024, a nie 1 000 bajtów (Dla odróżnienia tych wielkości opracowano tzw. przedrostki dwójkowe).

Funkcji wykładnicza exp , czyli funkcja wykładnicza o podstawie e, jest szeroko stosowana w matematyce, pojawiając się szczególnie często w analizie matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa.

Potęgowanie modulo jest używane w kryptografii, np. w algorytmie RSA.

Algorytmika

Złożoność obliczeniowa naiwnego algorytmu potęgowania (zob. wzór po (2)) wynosi $\operatorname{O}(n)$. Istnieje znacznie szybszy algorytm, nazywany algorytmem szybkiego potęgowania, korzystający z własności dwójkowego systemu liczbowego, którego złożoność obliczeniowa jest rzędu $\operatorname{O}(\log n)$.

Zobacz też

• funkcja W Lamberta