Potencjał magnetyczny

Potencjał magnetyczny jest matematycznym sposobem na zdefiniowanie pola magnetycznego w elektrodynamice klasycznej. Jest on analogiczny do potencjału elektrycznego który definiuje pole elektryczne w elektrostatyce. Podobnie jak w przypadku potencjału elektrycznego potencjał magnetyczny nie jest bezpośrednio obserwowalny - mierzalne jest jedynie pole które opisuje. Są dwa sposoby na zdefiniowanie tego potencjału - jako potencjał skalarny lub jako potencjał wektorowy, który jest wykorzystywany częściej.

Magnetyczny potencjał wektorowy

Magnetyczny potencjał wektorowy $\mathbf{A}$ jest trójwymiarowym polem wektorowym którego rotacja jest polem magnetycznym

$\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$

Pole magnetyczne jest bezźródłowe (to znaczy $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$, co wynika z prawa Gaussa), co pociąga za sobą istnienie tak zdefiniowanego potencjału $\mathbf{A}$ na podstawie twierdzenia Helmholtza.

Pole elektryczne dla potencjałów zależnych od czasu można zapisać w postaci

$\mathbf{E} = - \nabla \Phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }$

gdzie $\Phi$ jest potencjałem elektrycznym.

Wykorzystując powyższe definicje

$\nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = \nabla \times \left( - \nabla \Phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } \right) = - \frac { \partial } { \partial t } (\nabla \times \mathbf{A}) = - \frac { \partial \mathbf{B} } { \partial t }$

można zauważyć, że dwa równania Maxwella dla pola magnetycznego są spełnione tożsamościowo.

Wektorowy potencjał $\mathbf{A}$ jest wykorzystywany w mechanice klasycznej, w fizyce kwantowej w równaniu Diraca i w zjawiskach takich jak Efekt Aharonova-Bohma.

Powyższe definicje nie definiują magnetycznego potencjału wektorowego jednoznacznie, gdyż, z definicji, możemy dodać dowolne bezwirowe pole wektorowe do potencjału magnetycznego bez zmiany obserwowanego pola magnetycznego. Istnieje zatem pewna swoboda w wyborze $\mathbf{A}$, który jest określony z dokładnością do przekształcenia cechowania.

W systemie SI, jednostką A jest V·s·m⁻¹.

Przykład - potencjał wektorowy dla stałego pola magnetycznego

Np. potencjałem wektorowym dla stałego pola magnetycznego w dowolnym kierunku przestrzennym $\mathbf{B}$ jest

$\mathbf{A}=\frac{\mathbf{B} \times \mathbf{r}}{2}$.

Używając tożsamości upraszczającej dla rotacji iloczynu wektorowego pól wektorowych możemy to sprawdzić otrzymując

$\nabla \times \mathbf{A} =\nabla \times \left (\frac{\mathbf{B} \times \mathbf{r}}{2}\right )=\frac{1}{2}[(\nabla \cdot \mathbf{r})+\mathbf{r} \cdot \nabla]\mathbf{B}-\frac{1}{2}[(\nabla \cdot \mathbf{B})+\mathbf{B}\cdot \nabla ]\mathbf{r} =\frac{3}{2}\mathbf{B}+0-0- \frac{\mathbf{B}}{2}=\mathbf{B}$

gdzie dużo składników znika ponieważ wektor $\mathbf{B}$ jest stały.

Skalarny potencjał magnetyczny

Skalarny potencjał magnetyczny $\mathbf{\psi}$ jest prostszy od potencjału wektorowego, jednak można go używać jedynie w obszarach jednospójnych, w których nie występują prądy. Definiuje go równanie

$\mathbf{B} = - \mu_0 \nabla \mathbf{\psi}$

Korzystając z prawa Ampera dostajemy

$\mathbf{j} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} = - \nabla \times \nabla \mathbf{\psi} = 0$

Aby spełnione było prawo Gaussa, musi być spełnione równanie różniczkowe Laplace'a

$\triangle\mathbf\psi = 0$

Bibliografia

David J Griffiths: Podstawy elektrodynamiki. Warszawa: Wydaw. Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14375-4.