Potencjał magnetyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Potencjał magnetyczny jest matematycznym sposobem na zdefiniowanie pola magnetycznego w elektrodynamice klasycznej. Jest on analogiczny do potencjału elektrycznego który definiuje pole elektryczne w elektrostatyce. Podobnie jak w przypadku potencjału elektrycznego potencjał magnetyczny nie jest bezpośrednio obserwowalny - mierzalne jest jedynie pole które opisuje. Są dwa sposoby na zdefiniowanie tego potencjału - jako potencjał skalarny lub jako potencjał wektorowy, który jest wykorzystywany częściej.

Magnetyczny potencjał wektorowy[edytuj | edytuj kod]

Magnetyczny potencjał wektorowy \mathbf{A} jest trójwymiarowym polem wektorowym którego rotacja jest polem magnetycznym

\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

Pole magnetyczne jest bezźródłowe (to znaczy  \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, co wynika z prawa Gaussa), co pociąga za sobą istnienie tak zdefiniowanego potencjału \mathbf{A} na podstawie twierdzenia Helmholtza.

Pole elektryczne dla potencjałów zależnych od czasu można zapisać w postaci

\mathbf{E} = - \nabla \Phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }

gdzie \Phi jest potencjałem elektrycznym.

Wykorzystując powyższe definicje

 \nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0
 \nabla \times \mathbf{E} = \nabla \times \left( - \nabla \Phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t } \right) = - \frac { \partial } { \partial t } (\nabla \times \mathbf{A}) = - \frac { \partial \mathbf{B} } { \partial t }

można zauważyć, że dwa równania Maxwella dla pola magnetycznego są spełnione tożsamościowo.

Powyższe definicje nie definiują magnetycznego potencjału wektorowego jednoznacznie, gdyż, z definicji, możemy dodać dowolne bezwirowe pole wektorowe do potencjału magnetycznego bez zmiany obserwowanego pola magnetycznego. Istnieje zatem pewna swoboda w wyborze \mathbf{A}, który jest określony z dokładnością do przekształcenia cechowania.

W systemie SI, jednostką A jest V·s·m−1.

W mechanice klasycznej i kwantowej, potencjał wektorowy wchodzi do hamiltonianu opisującego cząstkę:

H=\frac{1}{2m}\left(p-\frac{e}{c}A\right)^2.

Przykład - potencjał wektorowy dla stałego pola magnetycznego[edytuj | edytuj kod]

Np. potencjałem wektorowym dla stałego pola magnetycznego w dowolnym kierunku przestrzennym \mathbf{B} jest

 \mathbf{A}=\frac{\mathbf{B}  \times \mathbf{r}}{2}.

Używając tożsamości upraszczającej dla rotacji iloczynu wektorowego pól wektorowych możemy to sprawdzić otrzymując

 \nabla \times \mathbf{A} =\nabla \times \left (\frac{\mathbf{B}  \times \mathbf{r}}{2}\right )=\frac{1}{2}[(\nabla \cdot \mathbf{r})+\mathbf{r} \cdot \nabla]\mathbf{B}-\frac{1}{2}[(\nabla \cdot \mathbf{B})+\mathbf{B}\cdot \nabla ]\mathbf{r} =\frac{3}{2}\mathbf{B}+0-0- \frac{\mathbf{B}}{2}=\mathbf{B}

gdzie dużo składników znika ponieważ wektor \mathbf{B} jest stały.

Skalarny potencjał magnetyczny[edytuj | edytuj kod]

Skalarny potencjał magnetyczny \mathbf{\psi} jest prostszy od potencjału wektorowego, jednak można go używać jedynie w obszarach jednospójnych, w których nie występują prądy. Definiuje go równanie

\mathbf{B} = - \mu_0 \nabla \mathbf{\psi}

Korzystając z prawa Ampera dostajemy

\mathbf{j} = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \mathbf{B} = - \nabla \times \nabla \mathbf{\psi} = 0

Aby spełnione było prawo Gaussa, musi być spełnione równanie różniczkowe Laplace'a

\triangle\mathbf\psi = 0

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

David J Griffiths: Podstawy elektrodynamiki. Warszawa: Wydaw. Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14375-4.