Powierzchnia Coonsa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykład powierzchni Coonsa: kolorami zaznaczono krzywe brzegowe, siatka aproksymuje powierzchnię

Powierzchnia Coonsa – powierzchnie będące wynikiem interpolacji (liniowej lub innej) czterech brzegowych parametrycznych krzywych przestrzennych. Są stosowane w modelowaniu geometrycznym CAD.

Nazwa pochodzi od nazwiska Stevena Coons, który opisał te powierzchnie w pracy doktorskiej pt. Surfaces for Computer-Aided Design of space forms.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Krzywe muszą mieć wspólne końce w przestrzeni. Dziedziną powierzchni jest kwadrat [0, 1] \times [0, 1], natomiast dziedziny krzywych to odcinki na jego brzegach: [u, 1], [u, 0], [0, w] oraz [1, w], gdzie parametry u, w \in [0, 1].

Funkcje interpolujące \alpha(u) i \beta(w) muszą być ciągłe i monotoniczne na przedziale [0, 1]. Muszą też spełniać następujące równości: \alpha(0) = 0 i \alpha(1) = 1, \beta(0) = 1 i \beta(1) = 0.

Powierzchnia Coonsa dana jest równaniem:

S(u, w) = S_1(u, w) + S_2(u, w) - S_3(u, w)

gdzie

S_1(u, w) = \alpha(u) S(0, w) + \beta(u) S(1, w)
S_2(u, w) = \alpha(w) S(u, 0) + \beta(w) S(u, 1)
S_3(u, w) = [\alpha(u) S(0, 0) + \beta(u) S(1, 0)] \alpha(w) +
                    [\alpha(u) S(0, 1) + \beta(u) S(1, 1)] \beta(w)

Dla interpolacji liniowej (\alpha(x) = x, \beta(x) = 1 - x) wynoszą:

S_1(u, w) = (1 - u)S(0, w) + u S(1, w)
S_2(u, w) = (1 - w)S(u, 0) + w S(u, 1)
S_3(u, w) = (1 - u)(1 - w)S(0, 0) + u(1 - w)S(1, 0) + (1 - u) w S(0, 1) + u w S(1, 1)

W tym przypadku S_1 i S_2 to powierzchnie prostokreślne, natomiast S_3 to powierzchnia powstała z interpolacji punktów w narożnikach.

Powierzchnia Gordona[edytuj | edytuj kod]

Powierzchnia Gordona jest uogólnieniem powierzchni Coonsa, w którym interpoluje się dwie rodziny krzywych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Michał Jankowski: Elementy grafiki komputerowej. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1990, s. 159-165. ISBN 83-204-1326-5.

Literatura dodatkowa[edytuj | edytuj kod]

  • Steven A. Coons, Surfaces for Computer-Aided Design of space forms, 1967, MIT