Prędkość graniczna

Prędkość graniczna (krytyczna) – maksymalna prędkość obiektu bezwładnie spadającego z wysokości, w ośrodku niebędącym próżnią, przy której siła grawitacji (skierowana w dół) jest równoważona przez siłę oporu aerodynamicznego (skierowaną w górę). W wyniku powstałego zjawiska ustaje przyspieszenie obiektu, a obiekt od tego momentu porusza się (spada) ruchem jednostajnym. Dla obiektu spadającego bezwładnie z prędkością chwilową większą niż wynosi jego prędkość graniczna (np. jeśli był wcześniej napędzany dodatkową siłą skierowana w dół, spadł z fragmentu atmosfery o mniejszej gęstości lub zmienił swój kształt), wartość prędkości chwilowej będzie się zmniejszać do momentu zrównania się z prędkością graniczną.

Przykładowo, prędkość graniczna spadochroniarza w normalnej pozycji podczas swobodnego spadania z zamkniętym spadochronem wynosi około 200 km/h. Osiągnięcie takiej prędkości zajmie w tej sytuacji ok. 12 sekund (od momentu rozpoczecia opadania - prędkości opadania równej 0 km/h). Prędkość wzrośnie do około 320 km/h (prędkość graniczna sokoła wędrownego, nurkującego po swoją ofiarę), jeśli spadochroniarz wyciągnie kończyny (zob. freeflying).

Powodem dla którego obiekt osiąga prędkość graniczną jest siła oporu, hamująca ruch proporcjonalnie do kwadratu prędkości. Przy niskich prędkościach opór jest dużo mniejszy niż siła grawitacji, więc obiekt przyspiesza. Jeśli zwiększy się prędkość, opór rośnie do momentu w którym zrównoważy ciężar ciała. Opór zależy także od przekroju, dlatego obiekty o dużej jego powierzchni (np. spadochrony) mają mniejszą prędkość graniczą niż małe obiekty (np. cegły i kule armatnie).

Matematycznie, prędkość graniczna opisana jest wzorem:

$V_t= \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d }}$

gdzie:

$V_t$ – prędkość graniczna,

$m$ – masa spadającego obiektu,

$g$ – przyspieszenie ziemskie,

$C_d$ – współczynnik oporu,

$\rho$ – gęstość płynu, przez który spada obiekt,

$A$ – powierzchnia przekroju obiektu.

Powyższe równanie wynika z równania oporu, przez podstawienie za opór sił grawitacji działającej na obiekt.

Należy zauważyć, że gęstość zwiększa się wraz ze spadkiem wysokości o ok. 1% na 80 metrów, więc dla każdych 160 metrów spadania, prędkość "graniczna" zmniejsza się o 1%. Po osiągnięciu lokalnej prędkości granicznej, prędkość chwilowa zmniejsza się w celu dostosowania do lokalnej prędkości granicznej.

Przybliżenie

Przybliżoną wartość prędkości granicznej określa się w sposób łatwiejszy niż jego dokładną wartość, ponieważ istnieje trudność w określeniu wartości $C_d$. Prosta metoda przybliżenia wartości granicznej danego obiektu polega na zawieszeniu tego obiektu na cienkim sznurku na zewnątrz samochodu. Prędkość graniczna będzie równa prędkości samochodu, w przypadku gdy obiekt będzie wisiał pod kątem 45°. Może to być łatwo udowodnione matematycznie, ponieważ dzieje się tak w momencie gdy opór powietrza działający w kierunku poziomym jest równy sile grawitacji.

Wyprowadzenie

Na obiekt spadający działają dwie siły: siła grawitacji oraz siła oporu. Z dodania obu sił wynika:

$F = mg - qv^2 \,$

gdzie:

m – masa obiektu,

g – przyspieszenie ziemskie,

q – $\frac{1}{2} \rho C_d A$ z równania oporu,

a po podstawieniu $F = ma$ otrzymuje się równanie różniczkowe:

$m \frac{dv}{dt} = mg - q v^2 \,$

Po podzieleniu przez m powstaje:

$\frac{dv}{dt} + \frac{q}{m} v^2 = g \,$

Rozwiązaniem równania różniczkowego jest tangens hiperboliczny:

$v(t) = \sqrt{ \frac{gm}{q} } \tanh \left(\sqrt{\frac{gq}{m}} t \right) \,$

Po podstawieniu q z powrotem, otrzymuje się pełne rozwiązanie:

$v(t) = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \tanh \left(t \sqrt{\frac{g \rho C_d A}{2m}} \right) \,$

Maksymalna wartość tanh wynosi 1, ponieważ prędkość spadającego obiektu dąży do prędkości granicznej:

$v_{t} = \sqrt{ \frac{2mg}{\rho A C_d} } \,$

Zobacz też

• prędkość graniczna (żegluga)
• prawa Newtona
• ruch jednostajny prostoliniowy
• ruch jednostajny krzywoliniowy