Prędkość grupowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Fala o prędkości grupowej mniejszej od prędkości fazowej. Czerwony punkt porusza się z prędkością fazową, a zielony z prędkością grupową.

Prędkość grupowa – wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych (innych niż sinusoidalne) w sytuacji, gdy natężenie fali nie wpływa na prędkość ruchu fali.

Dla fal rozprzestrzeniających się bez zmiany kształtu impulsu falowego odpowiada prędkości rozchodzenia się impulsu i prędkości rozchodzenia się czoła fali.

Dla fal prawie harmonicznych, opisanych jako fala harmoniczna o zmieniającej się amplitudzie, prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji czyli prędkość grupową określa wzór:

v_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k}

gdzie:

vg - prędkość grupowa
ω - częstość kątowa drgań fali
k - wektor falowy

Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa zwykle odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę.

Pojęcie prędkość grupowa wprowadzono w celu odróżnienia od prędkości przemieszczania się grzbietów fali nazywanej prędkością fazową, która pojawia się m.in. w prawie załamania światła

W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła. W ośrodkach materialnych prędkość grupowa światła jest zwykle mniejsza od prędkości światła w próżni, lecz może być większa, a nawet ujemna. Większa wartość prędkości grupowej od prędkości światła nie stoi w sprzeczności ze szczególną teorią względności, gdyż prędkość grupowa w takich przypadkach nie jest szybkością rozprzestrzeniania się fali, a tym samym i przenoszenia sygnałów.

W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej.

W ośrodkach, w których amplituda fali wpływa na szybkość ruchu fali nie wprowadza się prędkości grupowej.

Pojęcia prędkości grupowej i fazowej wprowadził William Rowan Hamilton w 1839 roku.

W mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

W mechanice kwantowej, zgodnie z hipotezą de Broglie'a, każdej cząstce odpowiada paczka fal zespolonych zwanych falami materii, dla tych fal:

v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}

gdzie: E - energia kinetyczna cząstki, p jej pęd, \hbar stała Diraca. Używając mechaniki relatywistycznej, stwierdza się że:

v_g = \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} - mc^2 \right) = \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}} = \frac{\gamma mvc^2}{\sqrt{{\gamma}^2m^2v^2c^2+m^2c^4}} = \frac{\gamma vc}{\sqrt{{\gamma}^2v^2+c^2}} = v

Wynik ten oznacza, że bez względu na masę cząstki, jej prędkość i inne parametry, prędkość grupowa fali materii odpowiada prędkości ruchu cząstki, co jest zgodne z oczekiwaniami.

Wzór na prędkość grupową[edytuj | edytuj kod]

Fala modulowana może być przedstawiona jako suma dwóch fal o różnych i niewiele różniących się częstościach. Przyjmując, że fazy początkowe obu fal są równe zero, różnica faz obu fal wynosi:

 \Delta \phi = \phi_1(z,t) - \phi_2(z,t)=(\omega_1 t - k_1 z) - (\omega_2 t - k_2 z) \,

Fale wzmacniają się gdy mają jednakowe fazy, oznacza to że, by poruszać się z prędkością rozchodzenia się wzmocnienia trzeba poruszać się z jego prędkością, czyli dla takiej samej fazy. Oznacza to, że różniczka powyższego wyrażenia jest równa zero

(\omega_1 dt - k_1 dz) - (\omega_2 dt - k_2 dz)=(\omega_1 -\omega_2)dt  - (k_1  - k_2) dz =  0 \,

Prędkość jest równa dz/dt, czyli:

 v_g = \frac {dz} {dt} = \frac {\omega_2 - \omega_1} {k_2 -k_1} = \frac{d\omega} {dk}

Związek z prędkością fazową[edytuj | edytuj kod]

Między prędkością grupową  v_g a fazową  v_p istnieją zależności:

v_{\rm g} = v_{\rm p} + k \cdot \frac{dv_{\rm p}}{dk}   

lub

v_{\rm g} = v_{\rm p} - \lambda \cdot \frac{dv_{\rm p}}{d\lambda}

Z zależności tych wynika, że fala ulega dyspersji gdy prędkość fazowa zależy od długości fali (liczby falowej), a gdy prędkość fazowa nie zależy od długości fali, to fala nie ulega dyspersji.

Wyprowadzenie zależności[edytuj | edytuj kod]

Z definicji prędkości fazowej v_p wynika:


v_{\rm p} = \frac{\omega}{k} = \lambda \cdot f

Związki dla wielkości opisujących fale: długość fali λ, częstotliwość f:

\omega = 2\pi f \,
 k = \frac{2 \pi}{\lambda}
 \omega = v_{\rm p} k \,

to

\frac{d\omega}{dk}=\frac{d}{dk} v_{\rm p} k = v_{\rm p} \frac{dk}{dk} + k \frac{dv_{\rm p}}{dk}


v_{\rm g} = v_{\rm p} + k \cdot \frac{dv_{\rm p}}{dk}


\frac{d}{dk} = \frac{d}{d\lambda} \cdot \frac{d\lambda}{dk}   i   \quad\frac{d\lambda}{dk} = \frac{d\frac{2 \pi}{k}}{dk} = -\frac{2 \pi}{k^2}
v_{\rm g} = v_{\rm p} - \lambda \cdot \frac{dv_{\rm p}}{d\lambda}

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]