Prawa Keplera

Tycho Brahe mierzy położenie gwiazd i planet (1598)

Prawa Keplera – trzy prawa astronomiczne opisujące ruch planet wokół Słońca odkryte przez Jana Keplera.

Historia odkrycia

Dzieło Astronomia Nova z 1609

Kepler w trakcie studiów teologii protestanckiej w Tybindze zapoznał się szczegółowo z teorią heliocentryczną Kopernika i odtąd stał się jej gorącym propagatorem. To, że udało mu się odkryć trajektorie planet, inne niż proponowane przez wszystkie dotychczasowe systemy kosmologiczne, zawdzięczał współpracy z Tychonem Brahe.

Brahe przez wiele lat regularnie rejestrował położenia planet w ich ruchu po niebie, w szczególności dokonał wielkiej liczby dokładnych pomiarów położenia Marsa. Wysoką ich dokładność osiągnął wyznaczając przestrzenne położenie punktów orbity Marsa na podstawie znajomości średnicy orbity Ziemi oraz kąta widzenia tych samych punktów orbity Marsa w odstępach roku marsjańskiego. Szczęśliwym zbiegiem okoliczności dla skuteczności tej metody było to, że orbita Ziemi jest niemal dokładnie okręgiem, a orbita Marsa jest elipsą o stosunkowo dużym mimośrodzie.

Po śmierci Tychona Brahe w 1601 bogate wyniki jego pomiarów na mocy testamentu stały się własnością Keplera. Dysponując nimi mógł Kepler graficznie wyznaczyć orbitę Marsa względem różnych punktów orbity ziemskiej. Po wieloletnich wytrwałych obliczeniach doszedł do wniosku, że najwłaściwszą krzywą jest elipsa. Głębsza analiza umożliwiła mu precyzyjne określenie zmiennej prędkości orbitalnej planety w jej ruchu po elipsie. Rezultaty tych prac opublikował w roku 1609 w dziele Astronomia Nova ‪(…) („Nowa astronomia‪ (…))”.

Obserwacje galileuszowych księżyców Jowisza, odkrytych w 1610 przez Galileusza, potwierdziły trafność pierwszych dwóch praw Keplera o ruchu planet. Ułatwiły też Keplerowi, po kilku kolejnych latach, sformułowanie III prawa opublikowanego w roku 1619 w Harmonices Mundi („Harmonia świata”). Wnioski z obserwacji ruchów Marsa potwierdzono wkrótce także dla orbit innych planet.

Prawa Keplera

Pierwsze prawo

Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po orbicie w kształcie elipsy, w której w jednym z ognisk jest Słońce

Elipsę można opisać na kilka sposobów, w astronomii najczęściej opisuje się elipsy podając ich wielką półoś ($a$) oraz mimośród ($e$), który określa stopień spłaszczenia elipsy (im $e$ bliższe zeru, tym elipsa bliższa jest okręgowi). Mimośród elipsy $e$ jest równy stosunkowi długość odcinka $c$ między środkiem, a jednym z ognisk do długości wielkiej półosi:

$e = \frac{c}{a}$

Mimośrody orbit planet w naszym układzie są w większości niewielkie. Poza Merkurym, dla którego mimośród przekracza nieco wartość 0,2, eliptyczności orbit pozostałych planet są poniżej 0,1. Na przykład mimośród elipsy orbity Ziemi wynosi 0,0167, co oznacza, że wielka oś elipsy orbity Ziemi jest dłuższa od krótkiej osi niewiele więcej niż 0,01% jej długości.

Drugie prawo

Graficzna interpretacja II Prawa Keplera

W równych odstępach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola.

Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że prędkość polowa każdej planety jest stała. Opisuje to wyrażenie:

$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2}\omega=\text{const}$

Wynika stąd, że w peryhelium (w pobliżu Słońca) planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od Słońca), czyli planeta w ciągu takiego samego czasu przebywa dłuższą drogę (ΔS) w pobliżu peryhelium, niż w pobliżu aphelium.

Na przykład dla orbity Ziemi (mimośród e = 0,01672) prędkość liniowa Ziemi w peryhelium wynosi 30,3 km/s, zaś w aphelium 29,3 km/s, dlatego lato (aphelium około 3 lipca) jest trochę dłuższe od zimy (peryhelium około 3 stycznia).

Trzecie prawo

Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu wielkiej półosi jej orbity (czyli średniej odległości od Słońca) jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym

Można to zapisać wzorem:

$\frac{T^2_1}{a^3_1}=\frac{T^2_2}{a^3_2}=\text{const}$

gdzie:

$T_1$, $T_2$ – okresy obiegu dwóch planet,

$a_1$, $a_2$ – wielkie półosie orbit tych planet.

Z prawa tego wynika, że im większa orbita, tym dłuższy okres obiegu, oraz że prędkość liniowa na orbicie jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka promienia orbity (dla orbity kołowej).

Czwarte „prawo” Keplera

Tajemnica kosmograficzna wg Keplera

W rzeczywistości Kepler sformułował cztery prawa opisujące parametry orbit planet, jednak według współczesnej metodologii naukowej tzw. czwarte prawo nie jest uznawane jako prawo natury, a jedynie jako przypadkowa zbieżność. Zostało ono odkryte najwcześniej ze wszystkich jego praw i opublikowane w roku 1596 książce Mysterium Cosmographicum (Tajemnica kosmograficzna).

Tak zwane „czwarte prawo” wiąże ze sobą promienie orbit planet. Kepler odkrył tę zależność wpisując i opisując na poszczególnych wielościanach foremnych sfery o promieniach odpowiednio dobranych planet. Wcześniej nieskutecznie próbował tego używając okręgów wyznaczonych przez orbity planet i wielokątów. Promienie orbit, które Kepler dopasowywał, były wyznaczone wg ówczesnych metod i dlatego nie były zbyt dokładne.

Ustawiając na przemian sfery i wielościany Kepler zauważył, że:

1. ośmiościan foremny opisany na sferze Merkurego jest wpisany w sferę Wenus.
2. dwudziestościan foremny opisany na sferze Wenus jest wpisany w sferę Ziemi;
3. dwunastościan foremny opisany na sferze Ziemi jest wpisany w sferę Marsa,
4. czworościan foremny opisany na sferze Marsa jest wpisany w sferę Jowisza
5. sześcian opisany na sferze Jowisza jest wpisany w sferę Saturna.

Szczęśliwym zbiegiem okoliczności było też to, że w czasach Keplera ostatnią znaną planetą był właśnie Saturn. Podobna zależność została również opisana jako Reguła Titiusa-Bodego.

Znaczenie praw Keplera

Odkrycie Keplera, że zarówno planety w Układzie Słonecznym jak i księżyce w układzie Jowisza krążą wokół ciała centralnego po orbitach eliptycznych, było mocnym potwierdzeniem teorii heliocentrycznej Kopernika dając zarazem niespotykaną dotąd zgodność obliczeń z obserwacjami. Było także definitywnym zerwaniem z pitagorejskim kanonem, zgodnie z którym prostota i elegancja opisu ruchu polegała na jego „rozłożeniu” na ruchy jednostajne po okręgu. Jeszcze w starożytności ideę tę podjął Platon, a twórczo i matematycznie opracował ją Eudoksos. I od niego we wszystkich późniejszych modelach kosmologicznych pojawiały się koncentryczne sfery „działające” i „neutralizujące”, ekscentryczne koła, deferenty, epicykle i ekwanty. Towarzyszyły one wszystkim astronomom od Hipparcha poprzez Ptolemeusza na Koperniku skończywszy. Odkrycie Keplera odrzuciło ten pitagorejsko-platoński kanon - elipsy okazały się równie pięknym i z pewnością prostszym pojęciem systemu kosmologicznego.

Te wydedukowane z danych empirycznych prawa były w gruncie rzeczy prawami czysto geometrycznymi. Pojawiające się wzmianki dotyczące masy, siły i bezwładności (szczególnie w pracach Galileusza) zupełnie nie znalazły odzwierciedlenia w prawach Keplera. Z punktu widzenia dzisiejszej fizyki jest to opis ruchu w języku kinematyki, brak w nich zupełnie pojęć dynamiki. On sam pisząc „Astronomia nova” był przekonany, że tym co wywołuje orbitalny ruch planet jest „duch planety”, choć i u niego ten pogląd ewoluował – z biegiem lat zauważywszy ścisłą zależność prędkości liniowej planety na orbicie od jej średnicy doszedł do wniosku, że przyczyna ruchu ma jednak podłoże fizyczne. Nawet w takim poglądzie widać pokłosie błędnej arystotelesowskiej fizyki, choć u Keplera nowatorskie niewątpliwie było mówienie o „podłożu fizycznym” w ruchach ciał niebieskich.

Mimo to znaczenie praw Keplera dla dalszego rozwoju fizyki trudno przecenić – były one inspiracją i podstawą rozważań dla Newtona szukającego uniwersalnego prawa rządzącego ruchami ciał na powierzchni Ziemi jak i w kosmosie. W roku 1687 Newton korzystając z wprowadzonych przez siebie trzech zasad dynamiki wyprowadził z trzech praw Keplera wzór na siłę przyciągającą dwa ciała formułując tym samym nowe prawo powszechnego ciążenia. Walnie przyczyniły się więc do rozwoju mechaniki klasycznej.

Dzisiaj, po czterech wiekach, zmieniło się podejście do praw Keplera. R Penrose pisze: „Obecnie jednak nieco inaczej traktujemy ruchy Keplera i uważamy, że są one jedynie konsekwencją siedemnastowiecznych praw dynamiki grawitacyjnej, sformułowanych po raz pierwszy przez Newtona (…); nie traktujemy zatem praw Keplera jako fundamentalnych praw Przyrody”. Z praw uwiarygodniających wzór na ciążenie powszechne Newtona stały się jedynie jego piękną i sugestywną ilustracją. Tak też są one przedstawiane w wielu współczesnych źródłach (np. podręcznikach akademickich), gdzie wyprowadza się je z praw mechaniki klasycznej.

Współczesne ujęcie

Z praw mechaniki Newtona wynika, że trzy prawa Keplera poprawnie opisują ruch planety w układzie związanym ze Słońcem. Dokładniej: prawa Keplera mówią o układzie dwóch ciał obdarzonych masą, z których jedno ma masę zaniedbywalnie małą w porównaniu z masą drugiego. W przypadku dwóch ciał o porównywalnych masach układ odniesienia nie jest związany z żadnym z nich, tzn. żadne z nich nie jest ciałem centralnym. Prawa Keplera zupełnie zawodzą dla układu trzech i więcej ciał.

Podstawowymi pojęciami, w których współcześnie wyraża się te prawa to m.in. masa, energia, siła, moment pędu.

Pierwsze prawo Keplera

Każde z dwóch ciał porusza się po krzywej stożkowej, w ognisku której znajduje się środek masy całego układu. Ze środkiem tym jest związany inercjalny układ odniesienia, co wynika z zasady zachowania pędu i właśnie w tym układzie krzywa ma kształt pewnej stożkowej.

W szczególnie ważnym przypadku, gdy m<<M, jeden z parametrów stożkowej można wyznaczyć z zależności :

$a=-\frac{GMm}{2U}$

gdzie

• $a\,$ jest wielką półosią stożkowej (dla paraboli jest to $\infty$, dla hiperboli jest to połowa odległości między wierzchołkami obu gałęzi wzięta z minusem)
• $M,m\,$ są masami obu ciał
• $G\,$ jest stałą grawitacji;
• $U\,$ jest całkowitą energią orbitalną tj. sumą energii kinetycznej $E_k\,$ i potencjalnej $E_p\,$ ciała mniejszego w układzie związanym ze środkiem masy układu. Ponieważ $E_p\,$ jest ujemne, więc można wartość całkowitej energii wyrazić jako $U=|E_k|-|E_p|\,$.

Z analizy powyższego równania wynika, że

• jeśli $a>0\,$ czyli $U<0\,$, to ciało porusza się po elipsie o półosi równej $a\,$,
• jeśli $a=\infty\,$ czyli $U=0\,$, to ciało porusza się po paraboli,
• jeśli $a<0\,$ czyli $U>0\,$, to ciało porusza się po hiperboli o półosi równej $-a\,$.

Oznacza to, że jeśli energia orbitalna jest nieujemna tj. $U\geqslant 0\,$, to mniejsze ciało porusza się na tyle szybko, że zbliży się do drugiego ciała tylko jednokrotnie.

Drugie prawo Keplera

Prawo to stwierdza, że dla dowolnej stożkowej:

$\vec{v_s}=\frac{d\vec{S}}{dt}= \text{const}$

gdzie

$\vec{v_s}$ jest prędkością polową rozumianą jako wektor prostopadły do płaszczyzny stożkowej

$d\vec{S}$ wektor powierzchni o wartości pola zakreślanego w czasie $dt$ przez promień wodzący o początku w ognisku stożkowej.

Kinetyczne pojęcie prędkości polowej zastępuje się pojęciem dynamicznym, łatwo bowiem wyrazić je przy użyciu momentu pędu:

$\vec{v_s} =\frac{d\vec{S}}{dt} = \frac{\vec{R} \times d\vec{s}}{2\cdot dt} = \frac{\vec{R} \times \vec{v}}{2} = \frac{1}{2}\frac{\vec{J}}{m}$

gdzie

$\vec{J}$ - moment pędu planety,

m - masa planety,

d$\vec{s}$ - nieskończenie mały wektor przesunięcia w ruchu po orbicie

$\vec{R}$ - promień wodzący z ogniska

$\vec{v}$ - prędkość liniowa na orbicie

Zastosowano tu wzór na pole trójkąta: $dS =\tfrac{1}{2} R ds \sin \alpha = \tfrac{1}{2} |\vec{R} \times d\vec{s}|$ gdzie $\alpha$ jest kątem między promieniem wodzącym a wektorem przesunięcia $\vec{ds}\,$ na orbicie.

Stąd

$\frac{J}{2m} = \text{const}$

Powyższą zależność można zinterpretować jako przejaw działania zasady zachowania momentu pędu planety. Siła grawitacyjna bowiem, jako oddziaływanie centralne, w układzie podwójnym nie wywołuje momentów sił, zatem moment pędu układu zostaje zachowany.

Trzecie prawo Keplera

Jeśli planeta porusza się w polu grawitacyjnym gwiazdy, ale jej masa jest na tyle duża, że nie można jej pominąć przy porównaniu z masą gwiazdy, natomiast pominie się oddziaływania z innymi ciałami, obowiązuje zależność zwana uogólnionym III prawem Keplera:

$a^3 = { { G \left( M_S + m \right) } \over {4 {\pi}^2 } } T^2$.

gdzie:

$a$ – długość wielkiej półosi orbity planety;

$G$ – stała grawitacji;

$m$ – masa danej planety;

$M_S$ – masa gwiazdy;

$T$ - okres obrotu planety wokół gwiazdy.

Z uogólnionego trzeciego prawa Keplera, pomijając masę planety, można wyprowadzić sformułowane przez Keplera prawo, gdy : $M_S + m \rightarrow M_S$.

Zobacz też

• orbita