Prawdopodobieństwo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawdopodobieństwo – ogólne określenie jednego z wielu pojęć służących modelowaniu doświadczenia losowego poprzez przypisanie poszczególnym zdarzeniom losowym liczb, zwykle z przedziału jednostkowego (w zastosowaniach często wyrażanych procentowo), wskazujących szanse ich zajścia. W rozumieniu potocznym wyraz „prawdopodobieństwo” odnosi się do oczekiwania względem rezultatu zdarzenia, którego wynik nie jest znany (niezależnie od tego, czy jest ono w jakimś sensie zdeterminowane, miało miejsce w przeszłości, czy dopiero się wydarzy); w ogólności należy je rozumieć jako pewną miarę przewidywalności bądź pewności względem zjawiska (przy danej o nim wiedzy), co umożliwia ocenę potencjalnie związanego z nim ryzyka.

Istnieje wiele interpretacji zagadnienia prawdopodobieństwa: a posteriori, czyli częstotliwościowe (zob. Definicja von Misesa), albo a priori, czyli bayesowskie (od nazwiska Thomasa Bayesa, zob. twierdzenie Bayesa), które dzieli się z kolei na subiektywne, które oddawać ma stan wiedzy osoby używającej rozumowania bayesowskiego, oraz obiektywne, które powinno być takie samo dla każdego używającego tego rozumowania. Osobną jest interpretacja skłonnościowa Karla Raimunda Poppera[1][2].

Teoria prawdopodobieństwa, nazywana również rachunkiem prawdopodobieństwa, jest ugruntowanym działem matematyki, który wyrósł z rozważań dotyczących gier losowych w XVII wieku i został sformalizowany oraz zaksjomatyzowany jako osobna dziedzina matematyki na początku XX wieku. Z punktu widzenia filozofii matematyki w swojej aksjomatycznej postaci twierdzenia matematyczne dotyczące teorii prawdopodobieństwa niosą ze sobą tę samą pewność epistemologiczną, co wszystkie inne twierdzenia matematyczne. Inną aksjomatyzację pojęcia prawdopodobieństwa w duchu bayesowskiego obiektywizmu podał Richard Threlkeld Cox, która przedstawiana jest często w postaci twierdzenia Coxa.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Początków rachunku prawdopodobieństwa należy upatrywać w hazardzie: obserwacja różnego rodzaju gier losowych doprowadziła do sformułowania pierwszych stwierdzeń i wniosków natury formalnej dotyczących możliwości i szans zajścia zdarzeń. Pierwsze ścisłe uwagi dotyczące prawdopodobieństwa wymieniali ze sobą w swojej korespondencji (1654) Pierre de Fermat i Blaise Pascal. Z kolei Christiaan Huygens (1657) jako pierwszy opisał zagadnienie z naukowego punktu widzenia. Jakob Bernoulli w swoim dziele Ars Conjectandi (pośmiertnie, 1713) i Abraham de Moivre w Doctrine of Chances (1718) traktują przedmiot jako dział matematyki.

To podejście doprowadziło do sformułowania przez Pierre'a Simona de Laplace'a klasycznej definicji prawdopodobieństwa (1812). Mimo tego, iż tłumaczyła ona wiele interesujących wtedy zagorzałych graczy zjawisk, a ponadto dawała poprawne odpowiedzi, to zawiera ona zasadniczy błąd logiczny. Odwołuje się ona do możliwości wyodrębnienia tzw. zdarzeń elementarnych, które mają być „jednakowo możliwe”, czyli „jednakowo prawdopodobne” – definiens odwołuje się do definiendum, jest to więc przykład błędnego koła w definiowaniu.

Pewnym rozwiązaniem bolączek definicji klasycznej była przedstawiona przez Georges'a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon definicja geometryczna (1733), która umożliwiała badanie prawdopodobieństw zdarzeń nieskończonych w oparciu o przypisanie im miar podzbiorów w zbiorze miary jednostkowej, np. długości sum odcinków leżących w odcinku jednostkowym, czy pól powierzchni figur zawartych w kwadracie o jednostkowym polu (zob. igła Buffona). Przy badaniu tej definicji Joseph Louis François Bertrand zauważył paradoksalny problem opisywany dzisiaj jego nazwiskiem, tzw. paradoks Bertranda, który jest w istocie pytaniem o właściwy dobór metody określania prawdopodobieństwa – to właśnie tego rodzaju paradoksom miały zapobiegać interpretacje częstotliwościowa i subiektywistyczna.

Definicja Laplace'a nie może też być stosowana w przypadku (potencjalnie) nieskończenie długich ciągów zdarzeń. Z problemem tym próbowano sobie poradzić na kilka sposobów. Jednym z nich była tzw. definicja częstotliwościowa Richarda von Misesa (1931), który zaproponował zdefiniowanie prawdopodobieństwa jako granicę ciągu częstości serii zdarzeń, czyli niejako ekstrapolowanie uzyskiwanych rezultatów doświadczalnych na przypadek nieskończony. Definicja ta również jest uważana za błędną, gdyż nie mówi ona nic o warunkach istnienia wspomnianej granicy; formalizacją tej zgodnej z intuicją definicji są różnorodne wersje prawa wielkich liczb.

Definicja geometryczna okazała się niejako najlepszym z powyższych pomysłów, gdyż korzystając z nowo powstałej teorii miary i teorii całkowania opracowanej przez Henriego Léona Lebesgue'a uogólniających pojęcia długości, pola powierzchni i objętości, Andriej Nikołajewicz Kołmogorow (1933) podał pierwszą aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa, która została szeroko przyjęta jako właściwe określenie tego pojęcia. Z tego punktu widzenia paradoks Bertranda jest źle zaadresowanym pytaniem: definicja Kołmogorowa nie rozstrzyga, który z modeli jest lepszy, lecz umożliwia wyznaczenie prawdopodobieństwa zgodnie z wybranym; pewne rozwiązanie paradoksu przedstawił Edwin Thompson Jaynes.

Alternatywnym do wspomnianej wyżej aksjomatyzacji sposobem wprowadzania formalnej teorii prawdopodobieństwa może być algebraiczna aksjomatyzacja zwana algebrą zmiennych losowych opisana przez Melvina Dale'a Springera w 1977 roku, choć nie jest to jedyna możliwość.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Definicja Laplace'a[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie skończony zbiór \scriptstyle \Omega wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych; dowolny podzbiór \scriptstyle A zbioru \scriptstyle \Omega nazywa się wtedy zdarzeniem[a].

Prawdopodobieństwem \scriptstyle \mathbb P(A) zajścia zdarzenia \scriptstyle A nazywa się stosunek liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \scriptstyle A do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych należących do zbioru \scriptstyle \Omega. Definicja ta zakłada więc nie wprost, iż wszystkie zdarzenia elementarne wzajemnie się wykluczają, a ich wystąpienia równie możliwe. Innymi słowy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \scriptstyle A to liczba

\mathbb P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|},

gdzie \scriptstyle |\cdot| oznacza liczbę wszystkich elementów danego zbioru.

Definicja Buffona[edytuj | edytuj kod]

Niżej przedstawiona zostanie definicja w przypadku jednowymiarowym (prosta i długość), jednak uogólnia się ona wprost na przypadek dwu- oraz trójwymiarowy (płaszczyzna i pole powierzchni oraz przestrzeń i objętość). Nomenklatura nie odbiega od przyjętej wyżej dla definicji klasycznej i częstotliwościowej: tym razem zbiór \scriptstyle \Omega będący podzbiorem ustalonej prostej może być nieskończony, jednak musi być ograniczony, co oznacza, że ma skończoną długość; podobnie ma się rzecz ze zdarzeniami \scriptstyle A \subseteq \Omega[b].

Jeżeli przyjąć, że \scriptstyle |\cdot| oznacza sumę długości wszystkich rozłącznych odcinków składających się na dany zbiór, to prawdopodobieństwo można określić, zupełnie jak w definicji klasycznej, wzorem

\mathbb P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.

Definicja von Misesa[edytuj | edytuj kod]

Definicja częstotliwościowa oparte jest na definicji Laplace'a, z tym iż \scriptstyle \Omega może być dowolnym (niekoniecznie skończonym) zbiorem. Liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \scriptstyle A w \scriptstyle n doświadczeniach (próbach) nazywa się jego częstością i oznacza \scriptstyle k_n(A).

Prawdopodobieństwem \scriptstyle \mathbb P(A) zdarzenia \scriptstyle A nazywa się wtedy liczbę będącą granicą ciągu częstości \scriptstyle k_n(A) przy liczbie prób \scriptstyle n rosnącej do nieskończoności, tzn.

\mathbb P(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{k_n(A)}{n}.

Definicja Kołmogorowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: definicja Kołmogorowa.

Jedynym właściwie niedostatkiem definicji Buffona było nieprecyzyjne określenie zdarzeń, którym można przypisać prawdopodobieństwo: nie jest jasne jaką postać przyjmować mogą zbiory odpowiadające zdarzeniom, a przez to, czy możliwe jest wskazanie ich długości[c]. Kluczem było wyraźne wskazanie zdarzeń i zastosowanie formalizacji mierzenia zbiorów w postaci miary Lebesgue'a i całki Lebesgue'a[d].

Niech dany będzie pewien zbiór \scriptstyle \Omega zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem nazywa się dowolną funkcję \scriptstyle \mathbb P przypisującą zdarzeniom wartości z przedziału jednostkowego, dla której \scriptstyle \mathbb P(\Omega) = 1 oraz \scriptstyle \mathbb P(A_1 \cup A_2 \cup \dots) = \mathbb P(A_1) + \mathbb P(A_2) + \dots dla dowolnego przeliczalnego ciągu \scriptstyle (A_n) zdarzeń parami wykluczających się[e]. Zdarzenia nie są dowolnymi podzbiorami zbioru \scriptstyle \Omega, czyli elementami rodziny wszystkich podzbiorów zbioru \scriptstyle \Omega, lecz elementami rodziny \scriptstyle \mathcal F \subseteq \Omega, która tworzy (w domyśle: największą) niepustą rodzinę zdarzeń w \scriptstyle \Omega, która jest zamknięta na branie zdarzeń przeciwnych i przeliczalnych alternatyw zdarzeń (intuicyjnie: dla każdego zdarzenia istnieje zdarzenie będące jego negacją, a dla dowolnej, co najwyżej przeliczalnej, liczby zdarzeń istnieje zdarzenie będące ich alternatywą)[f][g]. Zrezygnowanie z możliwości określenia prawdopodobieństwa dla wszystkich zdarzeń wynika z problemów formalnych pojawiających się podczas rozpatrywania dość „patologicznych” ich przypadków[h].

Definicja Springera[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: zmienna losowa.

Algebra zmiennych losowych – wychodząc nie od zdarzeń, lecz od zmiennych losowych – umożliwia rachunki symboliczne ułatwiające znajdowanie rozkładów prawdopodobieństwa, wartości oczekiwanych, wariancji, kowariancji itp. dla sum, iloczynów, czy ogólniejszych funkcji zmiennych losowych. Rozkłady prawdopodobieństwa wyznaczone są poprzez przypisanie wartości oczekiwanej każdej zmiennej losowej; przestrzeń mierzalna i miara prawdopodobieństwa z kolei powstają jako wynik zastosowania ugruntowanych twierdzeń reprezentacyjnych analizy[i]. Ponadto podejście to nie czyni formalizacji nieskończeniewymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa trudniejszymi niż skończeniewymiarowych.

O zmiennych losowych[j] zakłada się, iż mają następujące własności:

  • stałe zespolone są zmiennymi losowymi;
  • suma i iloczyn dwóch zmiennych losowych są zmiennymi losowymi;
  • dodawanie i mnożenie zmiennych losowych są przemienne;
  • istnieje działanie \scriptstyle (\cdot)^* sprzężenia zmiennych losowych, które dla wszystkich zmiennych losowych \scriptstyle X, Y jest:
przy czym pokrywa się ono ze sprzężeniem zespolonym w przypadku stałych.

Powyższe warunki czynią ze zmiennych losowych przemienną *-algebrę zespoloną. Samosprzężoną zmienną losową \scriptstyle X, tj. spełniającą \scriptstyle X = X^*, nazywa się rzeczywistą. Operator wartości oczekiwanej \scriptstyle \mathbb E na wspomnianej algebrze definiuje się jako znormalizowaną, dodatnią formę liniową, tzn.

  • \scriptstyle \mathbb E(c) = c, gdzie \scriptstyle c oznacza stałą;
  • \scriptstyle \mathbb E(X^* X) \geqslant 0 dla dowolnej zmiennej losowej \scriptstyle X[k];
  • \scriptstyle \mathbb E(X + Y) = \mathbb E(X) + \mathbb E(Y) dla wszystkich zmiennych losowych \scriptstyle X, Y;
  • \scriptstyle \mathbb E(cX) = c\mathbb E(X), o ile \scriptstyle c jest stałą.

Tak zdefiniowaną strukturę można uogólniać opuszczając przykładowo warunek przemienności, co prowadzi do innych dziedzin prawdopodobieństwa nieprzemiennego, jak np. prawdopodobieństwo kwantowe, teoria macierzy losowych, czy wolne prawdopodobieństwo.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W definicji klasycznej zdarzeniu \scriptstyle A polegającemu na wylosowaniu nieparzystej liczby oczek na symetrycznej kości sześciennej sprzyjają trzy spośród wszystkich sześciu równie prawdopodobnych możliwości (zdarzeń elementarnych), zatem \scriptstyle \mathbb P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}; podobnie \scriptstyle \mathbb P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

Przyjmując, iż rzut monetą można zakończyć się wyłącznie na dwa sposoby[l]: wyrzuceniem orła \scriptstyle \mathrm O albo reszki \scriptstyle \mathrm R[m], to zakładając, że te dwa zdarzenia elementarne są równie prawdopodobne można skorzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Wtedy \scriptstyle \Omega = \{\mathrm O, \mathrm R\} jest dwuelementowy, zatem \scriptstyle |\Omega| = 2. Ponadto tak zdarzenie \scriptstyle \{\mathrm O\}, jak i zdarzenie \scriptstyle \{\mathrm R\} są zbiorami jednoelementowymi, tzn. \scriptstyle |A| = 1 dla \scriptstyle A = \{\mathrm O\} lub \scriptstyle A = \{\mathrm R\}, co oznacza, że prawdopodobieństwo wyrzucenia tak orła, jak i reszki wynosi \scriptstyle \mathbb P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{1}{2}, czyli iż zdarzenia te istotnie są równie prawdopodobne. W przypadku rzutu dwoma monetami przestrzeń zdarzeń elementarnych \scriptstyle \Omega = \{\mathrm{OO}, \mathrm{OR}, \mathrm{RO}, \mathrm{RR}\} jest czteroelementowa, \scriptstyle |\Omega| = 4, podczas gdy każde ze zdarzeń \scriptstyle A = \{\mathrm{OO}\}, \{\mathrm{OR}\}, \{\mathrm{RO}\}, \{\mathrm{RR}\} można uzyskać tylko na jeden sposób, skąd \scriptstyle \mathbb P(A) = \frac{1}{4}. Z kolei prawdopodobieństwo zdarzenia \scriptstyle B polegającego na wyrzuceniu co najmniej jednego orła wynosi \scriptstyle \mathbb P(B) = \frac{3}{4}, gdyż zdarzeniu \scriptstyle B sprzyjają zdarzenia elementarne \scriptstyle \mathrm{OO}, \mathrm{OR}, \mathrm{RO}.

Wykonując doświadczenie polegające na stukrotnym rzucie monetą można uzyskać orła w \scriptstyle 47 przypadkach, zaś w tysiąckrotnym – przykładowo \scriptstyle 512 rzutów zakończyło się wyrzuceniem orła. Oznacza to, że częstość wypadania orła była zmienna i wynosiła odpowiednio \scriptstyle k_{100}(A) = 47 oraz \scriptstyle k_{1000}(A) = 512. Kontynuowanie w nieskończoność doświadczenia przekonałoby niezbicie eksperymentatora, iż moneta jest symetryczna, w przypadku gdy równo połowa rzutów zakończyłaby się wyrzuceniem orła, bądź wprost przeciwnie, gdyby ostateczny wynik nie podzieliłby się równo między orła i reszkę. Intuicję tę próbuje oddać definicja von Misesa: stosunek liczby wyrzuconych orłów do liczby wszystkich prób przy kontynuowaniu doświadczenia w nieskończoność – jeżeli \scriptstyle \mathbb P(A) = \lim \frac{|A|}{n} = \frac{1}{2}, to moneta będzie symetryczna. Tego rodzaju rozumowanie rodzi problemy natury poznawczej: prawdopodobieństwo dane jest a posteriori, a nie a priori, co uniemożliwia jakiekolwiek przewidywanie szans zajścia zdarzenia.

Wyrzucenie symetryczną monetą \scriptstyle 1000 razy z rzędu reszki nie oznacza bynajmniej, że bardziej prawdopodobne będzie wyrzucenie w \scriptstyle 1001 rzucie orła (tzw. „prawo serii”[3]), czy też reszki (przełamanie serii[n]). Z drugiej strony czy wyrzuciwszy \scriptstyle 764 razy reszkę w \scriptstyle 1000 rzutach można mieć uzasadnione zastrzeżenia co do symetryczności monety, tzn. czy istotnie w każdym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia orła \scriptstyle A = \{\mathrm O\} wynosi \scriptstyle \frac{1}{2}?

Geometric probability PL example.svg

Prawdopodobieństwo losowego[o] wybrania punktu z przedziału \scriptstyle [1, 2] zawartego w przedziale \scriptstyle [0, 4], oznaczanego jako zdarzenie \scriptstyle A, jest równe stosunkowi możliwości wybrania punktu z pierwszego przedziału do wybrania punktu z drugiego, przy czym szanse te są intuicyjnie proporcjonalne do ich długości. Skoro długość przedziału \scriptstyle [a, b] wynosi \scriptstyle b - a, to geometryczne prawdopodobieństwo zdarzenia \scriptstyle A wynosi \scriptstyle \mathbb P(A) = \frac{2 - 1}{4 - 0} = \frac{1}{4}.

Doświadczenie losowego rzucania monetą w nieskończoność można sformalizować za Kołmogorowem przy pomocy przestrzeni probabilistycznej: wynikiem doświadczenia jest losowy ciąg elementów \scriptstyle \mathrm O, \mathrm R oznaczających dwa możliwe wyniki pojedynczej próby, tzn. \scriptstyle \Omega = \{\mathrm O, \mathrm R\}^\mathbb N[p]. Zdarzeniami są dowolne ciągi skończone tych elementów[q]: istotnie, zbiór wszystkich tego rodzaju ciągów spełnia definicję rodziny \scriptstyle \mathcal F ze sformułowania Kołmogorowa[r]. Nieskończone ciągi złożone z elementów \scriptstyle \mathrm O, \mathrm R nie są więc uważane za zdarzenia.

Jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania orła i reszki w jednym rzucie wynosi odpowiednio \scriptstyle p oraz \scriptstyle 1-p (gdzie \scriptstyle 0 \leqslant p < 1; wyżej przyjmowano \scriptstyle \frac{1}{2})[s] to na przestrzeni zdarzeń \scriptstyle \Omega[r] można określić miarę prawdopodobieństwa zgodnie z aksjomatami Kołmogorowa w następujący sposób: prawdopodobieństwo zaobserwowania danego ciągu \scriptstyle A = \omega_1\omega_2\dots\omega_n[t] jest dane wzorem \scriptstyle \mathbb P(A) = p^k (1-p)^{n-k}, gdzie \scriptstyle k, n-k są odpowiednio liczbami wystąpień \scriptstyle \mathrm O oraz \scriptstyle \mathrm R w ciągu[u]. Przy takim sformułowaniu prawdopodobieństwo wylosowania nieskończenie długiego ciągu zdarzeń jest równe zeru, gdyż granica ciągu \scriptstyle p^n dąży do zera wraz z \scriptstyle n dążącym do nieskończoności (ze względu na ograniczenie \scriptstyle 0 \leqslant p < 1); innymi słowy jest ono zaniedbywalne[v]. Okazuje się więc, że nieskończone ciągi rzutów monetą nie są konieczne do rozpatrywania tego doświadczenia i to właśnie jest powodem wykluczenia ich z rodziny wszystkich zdarzeń[w]. Niemniej nadal można powiedzieć, że niektóre rodzaje nieskończonych ciągów rzutów są dużo bardziej prawdopodobne od innych, o czym mówi asymptotyczna zasada ekwipartycji[4][5].

Powyższy model można również oprzeć na definicji geometrycznej rozważając przedział jednostkowy: wynik pierwszego rzutu odpowiada lewemu (orzeł) lub prawemu (reszka) podprzedziałowi[x], a kolejne rzuty – kolejnym podprzedziałom poprzednio wybranych podprzedziałów wybieranym jak przy pierwszym rzucie; nieskończone ciągi odpowiadają punktom, które mają zerową długość, czyli są zaniedbywalne zupełnie jak miało to miejsce w poprzednim przypadku.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Zobacz hasło prawdopodobieństwo w Wikisłowniku
Zobacz publikację na Wikibooks:
Rachunek prawdopodobieństwa

Uwagi

  1. Być może lepsze są nazwy, w których brak wyrazu „zdarzenie”, np. „możliwość”, „przypadek”, czy „wynik”, gdyż nie prowadzą one do błędnego przeświadczenia, iż zdarzenia elementarne są zdarzeniami (zdarzenia elementarne, jako elementy, składają się na zdarzenia, które są zbiorami; zob. zbiór i podzbiór). Chcąc uzyskać zdarzenie, które zawierałoby wyłącznie wybrane zdarzenie elementarne \scriptstyle \omega \in \Omega należy wziąć zbiór jednoelementowy \scriptstyle \{\omega\} \subseteq \Omega.
  2. W istocie wymaga się tu bardziej możliwości określenia długości, która ma być skończona. W domyśle przyjmuje się, że jest ona określana za pomocą tzw. miary Jordana, o ile nie zostanie zaznaczone wyraźnie inaczej; zob. kolejną sekcję.
  3. Przykładowo problematyczny jest zbiór liczb wymiernych należących do odcinka jednostkowego. Zgodnie z definicją miary Jordana na prostej mierzenie tego zbioru odbywa się poprzez wypełnienie go „od dołu” i pokrycie „od góry” skończoną liczbą odcinków o ustalonej długości. Z jednej strony „pokrycie od góry” tego nieskończonego zbioru zawsze prowadzi do pokrycia nimi całego odcinka jednostkowego, gdyż punkty wymierne są na nim gęsto rozmieszczone, a więc zbiór ten ma jednostkową miarę zewnętrzną; z drugiej strony punkty niewymierne również są na nim gęsto rozmieszczone, co oznacza, że dopełnienie mierzonego zbioru również pokrywa w całości odcinek jednostkowy – „wypełnienie od dołu” będące różnicą miary całego odcinka i miary dopełnienia ma więc miarę zerową. Miara zbioru liczb wymiernych na odcinku jednostkowy w sensie Jordana jest więc nieokreślona, choć intuicyjnie zbiór ten powinien mieć miarę zerową, gdyż jest tylko przeliczalny w przeciwieństwie do jego dopełnienia.
  4. Podana niżej definicja przenosi się niemal bez zmian na algebry Boole'a.
  5. Zob. ciąg zbiorów.
  6. W szczególności rodzina \scriptstyle \mathcal F może pokrywać się z \scriptstyle \Omega, co ma np. miejsce w przypadku przeliczalnym i skończonym; uogólnia ona więc wszystkie poprzednie definicje.
  7. Rodzinę \scriptstyle \mathcal F o podanych własnościach nazywa się σ-ciałem podzbiorów zbioru \scriptstyle \Omega.
  8. W przestrzeni euklidesowej istnieją zbiory, np. zbiór Vitalego, dla których określenie ich miary Lebesgue'a jest niemożliwe; rozpatrywanie σ-ciała \scriptstyle \mathcal F wyklucza tego rodzaju zbiory z dyskursu dając przy tym wystarczająco bogaty zestaw zbiorów mierzalnych użyteczny do wszelkich zastosowań; ponieważ konstrukcja zbiorów niemierzalnych wymaga użycia szczególnych środków (aksjomat wyboru), bywa, iż w popularnym ujęciu pomija się te dywagacje de facto rozmywając precyzję definicji Kołmogorowa do nieformalnej definicji Buffona.
  9. W gruncie rzeczy chodzi przede wszystkim o konstrukcję Gelfanda–Najmarka–Segala.
  10. Aby uzyskać wystarczający stopień ogólności można ograniczyć się do przestrzeni \scriptstyle \mathrm L^{\infty-} := \bigcap_{k=1}^\infty \mathrm L^k(\Omega) określonych na zbiorze \scriptstyle \Omega zmiennych losowych o wszystkich momentach skończonych. Klasa ta jest zamknięta ze względu na mnożenie (zob. dalej) i wszystkie jej elementy mają skończony ślad (lub wartość oczekiwaną). Można by ograniczyć się dalej, do przestrzeni \scriptstyle \mathrm L^\infty = \mathrm L^\infty(\Omega) (istotnie) ograniczonych zmiennych losowych (zob. przestrzenie Lebesgue'a), ale traci się w ten sposób traci ważne przykłady zmiennych losowych, w szczególności zmienne gaussowskie. Wybór \scriptstyle \mathrm L^{\infty-} oznacza jednak rezygnację z jakiejś części struktury analitycznej, w szczególności w przeciwieństwie do \scriptstyle \mathrm L^\infty wskazana przestrzeń nie jest Banacha, jednakże w przypadku podejścia algebraicznego wydaje się to być rozsądną ceną.
  11. W języku algebr von Neumanna warunek ten (wraz z \scriptstyle \mathbb E(1) = 1 będącym odpowiednikiem unormowania prawdopodobieństwa Kołmogorowa) oznacza, że \scriptstyle \mathbb E jest stanem.
  12. Rozpatrywana jest więc próba Bernoulliego.
  13. Zob. awers i rewers.
  14. Zob. paradoks hazardzisty i odwrotny paradoks hazardzisty.
  15. W tym momencie nie jest jasne co właściwie oznacza termin „losowo”: w ujęciu Kołmogorowa oznaczałoby to w tym przykładzie „zgodnie z rozkładem jednostajnym”.
  16. Zbiór \scriptstyle \Omega jest w istocie przeliczalnym iloczynem prostym \scriptstyle \{\mathrm O, \mathrm R\}. Rozpatruje się też wersję „dwustronną” \scriptstyle \Omega = \{\mathrm O, \mathrm R\}^\mathbb Z.
  17. Na zbiorze \scriptstyle \Omega istnieje naturalna topologia nazywana topologią iloczynową; jej elementami są skończone ciągi elementów \scriptstyle \mathrm O, \mathrm R – pozostałe (nieskończone) ciągi można uważać w niej za nieistotne. Zbiory ciągów skończonych są nazywane zbiorami cylindrycznymi w tej topologii.
  18. 18,0 18,1 Chodzi tu o σ-ciało, mianowicie σ-ciało borelowskie.
  19. Oznacza to, że próby Bernoulliego mają rozkład dwupunktowy z prawdopodobieństwami \scriptstyle p oraz \scriptstyle 1-p.
  20. Formalnie \scriptstyle A jest ciągiem \scriptstyle (\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n), gdzie \scriptstyle \omega_i = \mathrm O, \mathrm R; wspomniana notacja jest używana w celu zachowania spójności z poprzednimi przykładami. Można ją sformalizować przyjmując, że zdarzenia opisywane są przez słowa nad alfabetem \scriptstyle \{\mathrm O, \mathrm R\} (zob. język formalny).
  21. Wspomnianą miarę, która jest miarą iloczynową, nazywa się niekiedy „miarą Bernoulliego”; samo doświadczenie losowe nazywa się procesem Bernoulliego.
  22. To znaczy jest ono miary zero.
  23. Jest to najuboższa topologia umożliwiająca opis procesu Bernoulliego, bogatsze topologie zezwalające na rozpatrywanie ciągów nieskończonych mogą prowadzić do pewnych nieporozumień, czy paradoksów; zob. silna topologia.
  24. Lewy podprzedział oznacza podprzedział o wartościach bliższych zerach, prawy – o wartościach bliższych jedności.

Przypisy

  1. Wojciech Załuski. [http://filozofia.upjp2.edu.pl/_files/czasopismo_artykul/03b81a2937c4701193aece6d26c42de9.3Zaluski.pdf O Karla R. Poppera skłonnościowej interpretacji prawdopodobieństwa]. „Semina Scientiarum”, 2002. 
  2. Wojciech Załuski: [http://www.academia.edu/342796/Sklonnosciowa_interpretacja_prawdopodobienstwa_Propensity_Interpretation_of_Probability_2008_Krakow-Tarnow_Biblos-OBI Skłonnościowa interpretacja prawdopodobieństwa]. Tarnów: 2008.
  3. Tomasz Downarowicz: Prawo serii w ujęciu matematycznym. 12 stycznia 2011.
  4. Marek Czachor: Wstęp do teorii informacji: Wykład 8. 29 listopada 2011.
  5. Tadeusz Inglot: Teoria informacji a statystyka matematyczna. 3-7 grudnia 2012.