Zbiór miary zero

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Prawie na pewno)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór miary zero – w teorii miary, a ogólniej w analizie matematycznej i teorii mnogości, zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej \scriptstyle (X, \mathfrak M) „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary \scriptstyle \mu, tzn. dowolny zbiór \scriptstyle A \in \mathfrak M spełniający \scriptstyle \mu(A) = 0. Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.

O własności przysługującej elementom pewnego zbioru miary zero mówi się, iż zachodzi prawie nigdzie, z kolei gdy dana własność zachodzi dla wszystkich elementów przestrzeni poza zbiorem zerowej miary, to zachodzi ona prawie wszędzie. W teorii prawdopodobieństwa zamiast wyrażeń „prawie nigdzie”, „prawie wszędzie” używa się wyrażeń „prawie nigdy”, „prawie na pewno/zawsze” (np. o możliwości zajścia zdarzenia losowego); ponieważ miara całej przestrzeni probabilistycznej jest równa jedności, to „prawie na pewno” oznacza „z prawdopodobieństwem 1”.

W przestrzeniach euklidesowych zbiory mierzy się zwykle za pomocą miary Lebesgue'a: w tym przypadku zbiory miary zero można scharakteryzować nie odwołując się do pojęć teorii miary; w lokalnie zwartych grupach topologicznych (którymi są m.in. przestrzenie euklidesowe) standardową miarą jest z kolei pewna (lewostronnie niezmiennicza) miara Haara (której przykładem jest miara Lebesgue'a).

Miara Lebesgue'a[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: miara Lebesgue'a.

Podzbiory miary Lebesgue'a zero przestrzeni euklidesowych można scharakteryzować nie odwołując się bezpośrednio do pojęcia miary: podzbiór \scriptstyle A prostej \scriptstyle \mathbb R nazywa się zaniedbywalnym lub miary Lebesgue'a zero (na mocy zupełności tej miary; często krótko: „miary zero”), jeżeli można wybrać ciąg przedziałów otwartych dowolnie małej długości pokrywających ten zbiór, tzn. dla dowolnego \scriptstyle \varepsilon > 0 istnieje taki ciąg przedziałów \scriptstyle (I_n), który spełnia

A \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty I_n

oraz

\sum_{n=1}^\infty |I_n| < \varepsilon,

gdzie \scriptstyle I_k = (a_k, b_k) oznacza przedział otwarty dla \scriptstyle a_k < b_k o długości \scriptstyle |I_k| = b_k - a_k. Definicja ta uogólnia się wprost na przestrzenie \scriptstyle \mathbb R^d, wtedy przedziały jednowymiarowe należy zastąpić przedziałami wielowymiarowymi, tj. zbiorami postaci \scriptstyle I = I_1 \times \dots \times I_d, w których czynniki kartezjańskie są przedziałami otwartymi, a ich objętość dana jest wzorem \scriptstyle |I| = |I_1| \dots |I_d|. Wynika stąd w szczególności, że podzbiory, które można zanurzyć w \scriptstyle \mathbb R^{d-1} są miary zero (\scriptstyle d-wymiarowej Lebesgue'a).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie funkcja mierzalna \scriptstyle f\colon \mathbb R \to \mathbb R (w sensie Lebesgue'a). Mówi się, że jest ona ciągła prawie wszędzie (ciągła p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero (Lebesgue'a). Jeżeli \scriptstyle g\colon \mathbb R \to \mathbb R jest mierzalna (w sensie Lebesgue'a), to funkcje \scriptstyle f oraz \scriptstyle grówne prawie wszędzie, tj. \scriptstyle f = g\; \mathrm{p.w.}, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

\bigl\{x \in \mathbb R\colon f(x) \ne g(x)\bigr\}

jest miary (Lebesgue'a) zero; podobnie jeśli dany jest ciąg \scriptstyle (f_n) funkcji mierzalnych \scriptstyle f_n\colon \mathbb R \to \mathbb R, to nazywa się go zbieżnym prawie wszędzie do \scriptstyle f, tzn. \scriptstyle f_n \to f\; \mathrm{p.w.}, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

\left\{x \in \mathbb R\colon \lim_{n \to \infty}~f_n(x) \ne f(x)\right\}

ma miarę (Lebesgue'a) zero; dla funkcji \scriptstyle g\colon \mathbb R \to \overline\mathbb R o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, jeśli zbiór

\bigl\{x\in A\colon g(x) \notin \mathbb R\bigr\}

jest zaniedbywalny, to o funkcji \scriptstyle g mówi się, że jest prawie wszędzie skończona. Można również spotkać się z następującym skróconym zapisem (szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie miara jest prawdopodobieństwem): \scriptstyle \lambda(f = g) = 0 oraz \scriptstyle \lambda(f_n \to f) = 0, \scriptstyle \lambda(g \in \mathbb R) = 0 oznaczającym odpowiednio równość \scriptstyle f oraz \scriptstyle g, zbieżność \scriptstyle f_n do \scriptstyle f oraz skończoność \scriptstyle g na zbiorach miary (Lebesgue'a) zero; w każdym z powyższych przypadków miarę Lebesgue'a \scriptstyle \lambda można zastąpić dowolną miarą \scriptstyle \mu określoną na ustalonym σ-ciele abstrakcyjnej przestrzeni mierzalnej.

Niech \scriptstyle \mathfrak N będzie rodziną wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, które są miary Lebesgue'a zero: tworzy ona σ-ideał wśród podzbiorów liczb rzeczywistych. Należą do niego m.in. wszystkie zbiory jednopunktowe, a stąd również wszystkie zbiory przeliczalne, czy klasyczny zbiór Cantora (poprzez drobne zmiany konstrukcji można uzyskać zbiór Cantora o dowolnej mierze skończonej), ponadto każdy ze zbiorów należących do \scriptstyle \mathfrak N zawiera się w zbiorze typu Gδ należącym do \scriptstyle \mathfrak N. Dowolna rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów \scriptstyle \mathbb R, które nie są miary zero (w sensie Lebesgue'a), jest co najwyżej przeliczalna.

Zbiór liczb rzeczywistych \scriptstyle \mathbb R można przedstawić w postaci sumy dwóch rozłącznych zbiorów) \scriptstyle M oraz \scriptstyle N, z których pierwszy jest zbiorem mizernym (zbiorem pierwszej kategorii), a drugi jest miary Lebesgue'a zero. Otóż jeżeli \scriptstyle \mathbb Q = \{q_1, q_2, q_3, \dots\} oznacza zbiór liczb wymiernych, zaś \scriptstyle I_{n, m} = \left(q_n - 2^{-n - m - 1}, q_n + 2^{-n - m - 1}\right) jest przedziałem otwartym o środku w \scriptstyle q_n i długości \scriptstyle 2^{-(n + m)}, to jako zbiór miary zero można przyjąć

N = \bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{n=1}^\infty~I_{n, m};

jego dopełnienie \scriptstyle M = N^\mathrm c jest zbiorem mizernym. Innym przykładem powyższego rozkładu jest zbiór \scriptstyle N wszystkich liczb Liouville'a, który ma miarę zero oraz jego dopełnienie będące zbiorem pierwszej kategorii.

Niech \scriptstyle \mathbb R^d = \mathbb R^m \times \mathbb R^n; konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli \scriptstyle E jest podzbiorem miary zero w \scriptstyle \mathbb R^d, to

\lambda_m\left(E^y\right) = 0

dla prawie wszystkich \scriptstyle x \in \mathbb R^n i podobnie

\lambda_n\left(E_x\right) = 0

dla prawie wszystkich \scriptstyle y \in \mathbb R^m, gdzie \scriptstyle \lambda_k oznacza \scriptstyle k-wymiarową miarę Lebesgue'a, a \scriptstyle E_x = \big\{x \in \mathbb R^n\colon (x, y) \in E\big\} oraz \scriptstyle E^y = \big\{y \in \mathbb R^m\colon (x, y) \in E\big\}. Uogólnieniem tej obserwacji jest następujący wniosek płynący z twierdzenia Fubiniego: jeżeli \scriptstyle (X, \mathfrak M, \mu) oraz \scriptstyle (Y, \mathfrak N, \nu) są dwiema przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi, przy czym \scriptstyle \lambda = \mu \otimes \nu jest miarą produktową określoną na przestrzeni produktowej \scriptstyle (X \times Y, \mathfrak M \otimes \mathfrak N), to dla dowolnego zbioru mierzalnego \scriptstyle E na tej przestrzeni następujące warunki są równoważne:

  • zbiór \scriptstyle E jest miary \scriptstyle \lambda zero;
  • zbiór \scriptstyle \big\{x \in X\colon \nu(E^y) \ne 0\big\} jest miary \scriptstyle \mu zero;
  • zbiór \scriptstyle \big\{y \in Y\colon \mu(E_x) \ne 0\big\} jest miary \scriptstyle \nu zero;

gdzie \scriptstyle E_x = \big\{x \in X\colon (x, y) \in E\big\} oraz \scriptstyle E^y = \big\{y \in Y\colon (x, y) \in E\big\}.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 144-145.
  • John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1980, s. 2-5.
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-x.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]