Prawo Gaussa (elektryczność)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo Gaussa dla elektryczności w fizyce, zwane również twierdzeniem Gaussa, to prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności dielektrycznej ε, jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

Prawo Gaussa w próżni[edytuj | edytuj kod]

W ujęciu całkowym[edytuj | edytuj kod]

Strumień \Phi natężenia pola elektrycznego \vec E, przenikający przez zamkniętą powierzchnię S, ograniczającą obszar o objętości V, jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego Q zawartego w tym obszarze (objętości)[1]:

\Phi=\oint\limits_S\vec E \cdot d\vec S=\frac 1{\varepsilon_0}\int\limits_V\rho\,dV=\frac{Q}{\varepsilon_o}

gdzie

W ujęciu różniczkowym[edytuj | edytuj kod]

Dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni:

\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

gdzie:

  • \nabla \cdot \vec{E} – dywergencja natężenia pola elektrycznego,
  • \rho – gęstość ładunku.

Prawo Gaussa w materii[edytuj | edytuj kod]

W materii pole elektryczne wywołuje przesunięcie ładunków elektrycznych, co skutkuje powstaniem ładunków zwanych ładunkami indukowanymi. Prawo Gaussa obowiązuje także w tej sytuacji, ale trzeba uwzględnić ładunki indukowane w ośrodku. Jest to podejście bardzo niewygodne w związku z czym uwzględnia się ten wkład za pomocą przenikalności elektrycznej materiału ośrodka:

\Phi=\frac{Q_{sw}+Q_{ind}}{\varepsilon_o}=\frac{Q_{sw}}{\varepsilon_r \varepsilon_o}=\frac{Q_{sw}}{\varepsilon}

gdzie

W ujęciu różniczkowym prawo Gaussa można teraz zapisać jako

\nabla \cdot \vec {E} = \frac{\rho_{sw}}{\varepsilon}

gdzie

  • \rho_{sw} – gęstość ładunków swobodnych.

Wkład ośrodka można też uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycznego przez

\vec {D} = \varepsilon \vec {E}

Dla której prawo Gaussa brzmi: Strumień indukcji elektrycznej \vec D przenikający przez zamkniętą powierzchnię S jest równy ładunkowi elektrycznemu Q zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią S:

\oint\limits_S\vec D\cdot d\vec S=\int\limits_V\rho\,dV=Q_{sw}

lub w postaci różniczkowej[2]

{\nabla} \cdot \vec {D} = \rho_{\mathrm{sw}}

gdzie:

  • {\nabla} \cdot \vec {D} – dywergencja indukcji elektrycznej.

Konsekwencje prawa Gaussa[edytuj | edytuj kod]

Wzór: \oint\limits_S\vec E\ \cdot d\vec S=\frac{Q}\varepsilon jest wyrazem faktu, że pole wektorowe \vec E jest polem źródłowym.

Dla ładunku punktowego Q pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości r można zapisać jako:

\Phi=\oint\limits _S \vec{E}\ \cdot d\vec{S} = S_{r} E(r)

gdzie S_{r} jest powierzchnią kuli. Z powyższego wynika:

E(r) = \frac{Q}{\varepsilon S_{r} }

Pole powierzchni kuli jest równe 4\pi r^{2}. Stąd wynikają wzory na natężenie pola elektrycznego oraz siłę oddziaływania ładunku próbnego q z ładunkiem punktowym:

E(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon r ^{2}}
F(r) = \frac{Q q}{4\pi \varepsilon r ^{2}}

Otrzymany wzór wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie), to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania "wymiarowości" naszej przestrzeni.

Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.

Odpowiednik dla magnetyzmu[edytuj | edytuj kod]

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.

\Phi=\oint\limits_S\vec B\ \cdot d\vec S=\oint\limits_V \nabla\cdot\vec B\,d V=0

Odpowiednik dla grawitacji[edytuj | edytuj kod]

Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:

\oint\limits_S\vec g\ \cdot d\vec S= -4\pi GM

gdzie:

Strumień natężenia pola \vec g przez powierzchnię zamkniętą S równy jest całkowitej masie M zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez -4\pi G.

Uwaga: Ta postać prawa Gaussa jest prawdziwa jedynie w teorii grawitacji Newtona. W ogólnej teorii względności już nawet w najprostszym przypadku jednorodnego pola przyspieszeń w zadanym obszarze (wektory przyspieszenia są w tym obszarze równoległe) zachodzi bowiem:

\oint\limits_S\vec g\ \cdot d\vec S=\frac{1}{c^2}\oint\limits_V \vec g\ ^2 dV

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. D. Halliday, R. Resnick: Fizyka T.2. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
  2. Dielektryk w polu elektrycznym. [dostęp 2010-02-10].