Prawo Hooke’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke’a (1635-1703) w formie ut tensio sic vis (jakie naprężenie taka siła), pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości.

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia[edytuj | edytuj kod]

Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E


     \frac{F}{S}=E\frac{\Delta l}{l} , 
     \Delta l=\frac{lF}{SE}

gdzie:

F – siła rozciągająca,
S – pole przekroju,
Δl – wydłużenie pręta,
l – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

\sigma = E \epsilon\,\!

gdzie:

\epsilon = {\Delta l \over l} – odkształcenie względne,
\sigma = {F \over S}  – naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia[edytuj | edytuj kod]

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału izotropowego może być zapisane w postaci układu równań:

dla odkształceń liniowych

\epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]

\epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]

\epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]
dla odkształceń kątowych własnych

\gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}

\gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}

\gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}

gdzie:

εodkształcenie liniowe w punkcie,
σ – naprężenie liniowe w punkcie,
γodkształcenie postaciowe (kątowe) w punkcie,
τ – naprężenie kątowe w punkcie,
G – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,
Emoduł Younga
\nuwspółczynnik Poissona.

Zapis tensorowy[edytuj | edytuj kod]

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako współczynnik proporcjonalności stosuje się tensor sztywności c

\sigma^{ij} = c^{ijkl} \epsilon_{kl}\,

lub tensor podatności b

\epsilon_{kl} = b_{klij} \sigma^{ij}\,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]