Prawo Hooke’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między naprężeniem wywołanym przez przyłożone siły a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke’a (1635-1703) w formie ut tensio sic vis (jakie wydłużnie taka siła) i przekazana w postaci anagramu ceiiinosssttuv, pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej plastyczności i lepkości.

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia[edytuj | edytuj kod]

Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E


     \frac{F}{S}=E\frac{\Delta l}{l} , 
     \Delta l=\frac{l F}{SE}

gdzie:

F – siła rozciągająca,
S – pole przekroju poprzecznego,
E – moduł Younga,
Δl – wydłużenie pręta,
l – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

\sigma = E \epsilon\,\!

gdzie:

\epsilon = {\Delta l \over l} – odkształcenie,
\sigma = {F \over S}  – naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia[edytuj | edytuj kod]

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału izotropowego może być zapisane w postaci układu równań:

dla odkształceń normalnych (liniowych)

\epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]

\epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]

\epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]
dla odkształceń postaciowych (kątowych)

\gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}

\gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}

\gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}

gdzie:

\epsilon_{x}, \epsilon_{y}, \epsilon_{z} – składowe odkształcenia normalnego w punkcie,

\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}
– naprężenie normalne w punkcie,

\gamma_{xy}, \gamma_{yz}, \gamma_{xz}
– składowe odkształcenia postaciowego w punkcie,

\tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{xz}
– naprężenie styczne w punkcie,
G – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,
Emoduł Younga
\nuwspółczynnik Poissona.

Zapis tensorowy[edytuj | edytuj kod]

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako współczynnik proporcjonalności stosuje się tensor sztywności 
C

\sigma^{ij} = C^{ijkl} \epsilon_{kl}\,

lub tensor podatności 
D

\epsilon_{kl} = D_{klij} \sigma^{ij}\,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]