Prawo Hooke’a

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Ta prawidłowość, sformułowana przez Roberta Hooke’a (1635-1703) w formie ut tensio sic vis (gdzie naprężenie, tam siła), pozostaje prawdziwa tylko dla niezbyt dużych odkształceń, nie przekraczających tzw. granicy Hooke’a (zwanej też granicą proporcjonalności), i tylko dla niektórych materiałów. Prawo Hooke’a zakłada też, że odkształcenia ciała, w reakcji na działanie sił, następują w sposób natychmiastowy i całkowicie znikają, gdy przyłożone siły przestają działać. Takie uproszczenie jest wystarczające jedynie dla ciał o pomijalnie małej lepkości.

Osiowy stan naprężenia i odkształcenia

Zależność obciążenia i naprężenia od odkształceń z zaznaczonym zakresem stosowalności prawa Hooke’a

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke’a jest rozciąganie statyczne pręta. Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

$\begin{align} & \frac{F}{S}=E\frac{\Delta l}{l} \\ & \Delta l=\frac{lF}{SE} \\ \end{align}$

gdzie:

F – siła rozciągająca,

S – pole przekroju,

Δl – wydłużenie pręta,

l – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać:

$\sigma = E \epsilon\,\!$

gdzie:

$\epsilon = {\Delta l \over l}$ – odkształcenie względne,

$\sigma = {F \over S}$  – naprężenie.

Trójwymiarowy stan naprężenia i odkształcenia

Prawo Hooke’a dla ogólnego, trójwymiarowego układu naprężeń w przypadku materiału izotropowego może być zapisane w postaci układu równań:

dla odkształceń liniowych

$\epsilon_x = \frac {1} {E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]$

$\epsilon_y = \frac {1} {E} [\sigma_y - \nu(\sigma_z + \sigma_x)]$

$\epsilon_z = \frac {1} {E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]$

dla odkształceń kątowych własnych

$\gamma_{xy} = \frac {\tau_{xy}} {G}$

$\gamma_{xz} = \frac {\tau_{xz}} {G}$

$\gamma_{yz} = \frac {\tau_{yz}} {G}$

gdzie:

ε – odkształcenie liniowe w punkcie,

σ – naprężenie liniowe w punkcie,

γ – odkształcenie postaciowe (kątowe) w punkcie,

τ – naprężenie kątowe w punkcie,

G – współczynnik sprężystości postaciowej (poprzecznej) lub moduł Kirchhoffa,

E – moduł Younga

$\nu$ – współczynnik Poissona.

Zapis tensorowy

W ujęciu ogólnym (dla materiału anizotropowego) jako współczynnik proporcjonalności stosuje się tensor sztywności c

$\sigma^{ij} = c^{ijkl} \epsilon_{kl}\,$

lub tensor podatności b

$\epsilon_{kl} = b_{klij} \sigma^{ij}\,$

Zobacz też

• krzywa naprężenia
• siła sprężystości
• statyczna próba rozciągania
• sztywność
• tensor