Prawo rozpadu naturalnego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Zależność masy od czasu dla różnych stałych rozpadu.

Prawo rozpadu naturalnego – to zależność określająca szybkość ubywania pierwotnej masy substancji zbudowanej z jednego rodzaju cząstek, która ulega naturalnemu, spontanicznemu rozpadowi.

Prawo ma zastosowanie w rozpadzie promieniotwórczym ciał, ale w ogólności dotyczy wielu procesów fizycznych.

Prawo to głosi, że jeśli prawdopodobieństwo rozpadu cząstek tworzących substancję jest dla każdej z nich jednakowe i niezależne oraz nie zmienia się w czasie trwania procesu rozpadu, to ubytek masy substancji w niewielkim odcinku czasu można wyrazić wzorem:

dm = -\lambda m dt \,

Po scałkowaniu:

m(t) = m_0 e ^ {-\lambda t}\,

gdzie:

m - masa substancji ulegającej rozpadowi,
λ - stała rozpadu charakterystyczna dla danego izotopu lub substancji,
t - czas,
m0 - masa początkowa substancji w momencie t = 0
m(t) - masa substancji w czasie t.

We wzorze na prawo rozpadu zamiast stałej rozpadu λ używana jest wielkość \tau = \frac 1 \lambda zwana średnim czasem życia.

Czas po którym w stanie początkowym pozostaje połowa masy próbki ( m = \frac 1 2 m_0) nazywa się czasem połowicznego rozpadu (T_{\frac 1 2}).

Co można wyrazić wzorem:

\lambda T_{\frac 1 2} = \ln 2

lub

T_{\frac 1 2} = \frac {\ln 2} \lambda \approx \frac {0,693} {\lambda}

Wzór na ilość pozostającej substancji można wyrazić:

m(t) = m_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{T_{1/2}} =  \frac{m_{0}}{2^\frac{t}{T_{1/2}}} = m_{0}2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}

Masa cząstek, które się rozpadły od początku, czyli czasu t=0, w którym masa była równa  m_0 to:

m_{0} - m(t) = m_{0} \left(1 - e^{-\lambda t} \right)

Masę cząstek, które się rozpadają w jednostce czasu, a więc szybkość rozpadania się (patrz aktywność promieniotwórcza), można przedstawić jako:

\frac{dm}{dt} = -\lambda m_{0} e^{-\lambda t} = -\lambda m(t)

W prawie rozpadu naturalnego w miejsce masy można używać inne wielkości mierzące ilość rozpadającego się czynnika, np. liczbę cząstek.

Prawo rozpadu naturalnego ma zastosowanie do cząstek elementarnych, jąder atomowych i substratów reakcji chemicznych, które zachodzą zgodnie z kinetyką pierwszego rzędu.

Prawo rozpadu naturalnego zastosowane do opisu zachowania izotopów promieniotwórczych znane jest jako prawo rozpadu promieniotwórczego lub prawo przemian promieniotwórczych a samo równanie jako równanie rozpadu promieniotwórczego.

Prawo to jest matematycznie identyczne z prawami opisującymi wiele innych procesów w fizycznych np.:

  • stygnięcie ciała opisuje wówczas zmianę temperatury (prawo stygnięcia),
  • rozładowanie kondensatora - ładunek elektryczny q(t) na okładkach kondensatora.