Prawo wielkich liczb

Z Wikipedii

Prawa wielkich liczb - seria twierdzeń matematycznych (jedne z tzw. twierdzeń granicznych), opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą. Najprostszą i historycznie najwcześniejsza postać prawa wielkich liczb to prawo Bernoulliego sformułowane przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Bernoulliego w książce Ars Conjectandi (1713). Prawo Bernoulliego orzeka, że:

„Z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać, iż przy dostatecznie wielkiej liczbie prób częstość danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa.”^[1]

Bernoulli nazwał je „Złotym twierdzeniem”, ale matematycy przyjęli dla niego nazwę „Twierdzenie Bernoulliego”. Dopiero w 1835 roku francuski naukowiec Siméon Denis Poisson opisał je pod nazwą „Prawo wielkich liczb”. Obecnie twierdzenie to znane jest pod nazwami „Twierdzenie Bernoulliego”, jak i „Prawo wielkich liczb”, jednak ta druga nazwa jest częściej stosowana.

[edytuj] Prawa wielkich liczb

[edytuj] Prawo wielkich liczb Bernoulliego

Jeśli $S n$ oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego $n$ prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym $p$ , to dla każdego $\varepsilon>0$ .

$\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|\frac{S_n}{n}-p\right| \le \varepsilon \right) = 1$ .

Słownie: niezależnie od wyboru szerokości przedziału wokół wartości oczekiwanej, prawdopodobieństwo dla dużych $n$ będzie dowolnie bliskie $1$ .

Dowód słabego prawa wielkich liczb opiera się na nierówności Czebyszewa.

Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego mówi, że ciąg $\tfrac{S_n}{n}$ dąży do $p$ prawie na pewno. Dowód tego faktu wykorzystuje nierówność Bernsteina.