Prawo wielkich liczb

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawa wielkich liczb - seria twierdzeń matematycznych (jedno z tzw. twierdzeń granicznych), opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą. Najprostsza i historycznie najwcześniejsza postać prawa wielkich liczb to prawo Bernoulliego sformułowane przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Bernoulliego w książce Ars Conjectandi (1713). Prawo Bernoulliego orzeka, że:

„Z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać, iż przy dostatecznie wielkiej liczbie prób częstość danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa.”[1]

Bernoulli nazwał je „Złotym twierdzeniem”, ale matematycy przyjęli dla niego nazwę „Twierdzenie Bernoulliego”. Dopiero w 1835 roku francuski naukowiec Siméon Denis Poisson opisał je pod nazwą „Prawo wielkich liczb”. Obecnie twierdzenie to znane jest pod nazwami „Twierdzenie Bernoulliego” i „Prawo wielkich liczb”, jednak ta druga nazwa jest częściej stosowana.

Prawa wielkich liczb[edytuj | edytuj kod]

Prawo wielkich liczb Bernoulliego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli S_n oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego n prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p, to dla każdego \varepsilon>0.

\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|\frac{S_n}{n}-p\right| \le \varepsilon \right) = 1.

Słownie: niezależnie od wyboru szerokości przedziału wokół wartości oczekiwanej, prawdopodobieństwo dla dużych n będzie dowolnie bliskie 1.

Dowód słabego prawa wielkich liczb opiera się na nierówności Czebyszewa.

Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego mówi, że ciąg \tfrac{S_n}{n} dąży do p prawie na pewno. Dowód tego faktu wykorzystuje nierówność Bernsteina.

Mocne prawo wielkich liczb[edytuj | edytuj kod]

Dla ciągów (całkowalnych) zmiennych losowych wprowadza się definicję spełniania przez nich tzw. mocnego (i słabego) prawa wielkich liczb.

Ciąg zmiennych losowych (\xi_n)_{n\in\mathbb N} spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL), gdy

\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(\xi_k-E\xi_k) \xrightarrow{p.n.} 0


Poniższe twierdzenie znane jest jako mocne prawo wielkich liczb Kołmogorowa:

Jeżeli (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem oraz
\sum_{n=1}^\infty \frac{D^2\xi_n}{n^2}<\infty,
to ciąg (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}} spełnia MPWL.

Wynika z niego następujący wniosek: jeżeli (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie oraz E|\xi_1|<\infty, to

\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k \xrightarrow{p.n.} E\xi_1
prawie na pewno.
Twierdzenie Kołmogorowa

W ogólności, jeśli (a_n)_{n\in\mathbb N} jest rosnącym do nieskończoności ciągiem liczb dodatnich, a ponadto zbieżny jest szereg

\sum_{n=1}^\infty \frac{D^2\xi_n}{a_n^2} ,

to

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}\sum_{k=1}^n(\xi_k-E\xi_k)=0

prawie na pewno.

Dowód twierdzenia opiera się na znanym z analizy: lemat Toeplitza i lemat Kroneckera, a także następujący fakt z rachunku prawdopodobieństwa: jeśli (\xi_n)_{n\in\mathbb N} jest ciągiem całkowalnych niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem oraz szereg

\sum_{n=1}^\infty D^2\xi_n

jest zbieżny, to szereg

\sum_{n=1}^\infty(\xi_n-E\xi_n)

jest zbieżny prawie na pewno.

Słabe prawo wielkich liczb[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że ciąg zmiennych losowych (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}} spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL), gdy

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(\xi_k-E\xi_k)=0

ze względu na prawdopodobieństwo.

Słabe prawo wielkich liczb[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}} jest ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratami oraz

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n D^2\xi_k=0,

to ciąg (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}} spełnia SPWL. Dowód tego faktu również opiera się na nierówności Czebyszewa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Zwiększając liczbę doświadczeń opartych na zdarzeniach losowych, możemy oczekiwać rozkładu wyników coraz lepiej odpowiadającego rozkładowi prawdopodobieństw zdarzeń (na przykład, przeprowadzając wielką liczbę rzutów symetryczną monetą, możemy oczekiwać że stosunek liczby "wyrzuconych" orłów do liczby wszystkich rzutów będzie bliski 0,5 (wartości prawdop.); tym większe są na to szanse im większa jest liczba rzutów)