Problem Apoloniusza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rys. 1. Przykładowe rozwiązanie problemu Apoloniusza
Rys. 2. 8 rozwiązań problemu

Problem Apoloniusza – problem matematyczny polegający na stworzeniu okręgu stycznego do trzech innych okręgów (Rys. 1). Apoloniusz z Pergi przedstawił i rozwiązał ten problem w swojej pracy Ἐπαφαί (Epaphaí, "Styczności"); praca ta zaginęła, jednak raport na temat jej wyników, który wykonał Pappus z Aleksandrii, przetrwał. Dla dowolnych trzech okręgów można stworzyć 8 różnych okręgów, które będą do nich styczne (Rys. 2).

Rozwiązania problemu[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele różnych metod rozwiązania tegoż problemu. W XVI w., Adriaan van Roomen rozwiązał ten problem korzystając z przecinających się hiperboli, jednak ta metoda nie korzysta jedynie z konstrukcji klasycznych. François Viète znalazł takie rozwiązanie problemu korzystając z ograniczania możliwości: każdy z trzech okręgów może być zmniejszony do 0 stopni (punktu) lub powiększony do nieskończonej ilości stopni (prostej).

Później, matematycy zdefiniowali metody algebraiczne, które umożliwiły zdefiniowanie problemu za pomocą równań algebraicznych.

Typy Problemu Apoloniusza[edytuj | edytuj kod]

Ogólnie rzecz biorąc, Problem Apoloniusza można zdefiniować jako problem narysowania okręgu stycznego do trzech danych elementów. W konsekwencji daje to 10 różnych typów tegoż problemu, przedstawionych poniżej:

10 Typów Problemu Apoloniusza
Indeks Kod Elementy Liczba rozwiązań Przykład
(rozwiązanie na różowo)
1 PPP trzy punkty 1 Apollonius PPP black.svg
2 LPP jedna prosta i dwa punkty 2 Apollonius LPP black.svg
3 LLP dwie proste i jeden punkt 2 Apollonius LLP black.svg
4 CPP jeden okrąg i dwa punkty 2 Apollonius CPP black.svg
5 LLL trzy proste 4 Apollonius LLL black.svg
6 CLP jeden okrąg, jedna prosta i jeden punkt 4 Apollonius CLP black.svg
7 CCP dwa okręgi i jeden punkt 4 Apollonius CCP black.svg
8 CLL okrąg i dwie proste 8 Apollonius CLL black.svg
9 CCL dwa okręgi i prosta 8 Apollonius CCL black.svg
10 CCC trzy okręgi (klasyczny problem) 8 Apollonius CCC black.svg

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Boyd DW. The osculatory packing of a three-dimensional sphere. „Canadian J. Math.”, s. 303–322, 1973. 
  • Célèbres problèmes mathématiques. Paryż: Albin Michel, 1949, s. 219–226. OCLC 61042170.
  • Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia. Gothae: Ettinger, 1795.
  • Gisch D, Ribando JM. Apollonius’ Problem: A Study of Solutions and Their Connections. „American Journal of Undergraduate Research”, s. 15–25, 2004. 
  • Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique. Paryż: 1933. OCLC 67245614.
  • Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert. Berlin: Teubner, 1906, s. 97–105.
  • The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Nowy Jork: Penguin Books, 1991, s. 3–5. ISBN 0-14-011813-6.