Problem Dirichleta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Problem Dirichleta polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez Lejeune'a Dirichleta dla równania Laplace'a.

Przyklad - Równanie struny skończonej przymocowanej do ruchomego końca[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy problem Dirichleta dla równanie falowego opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim koṅcem poruszającym sie liniowo tzn. równanie d’Alemberta na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:

\frac{\partial{}^2}{\partial t^2}u(x,t) - \frac{\partial{}^2}{\partial x^2} u(x,t)  = 0
u(0,t)= 0
u(\lambda t, t)=0

Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest

u(x,t)= f(t-x) - f(x+t)

Chcemy ponadto

f(t-\lambda t) - f(\lambda t+t)=0

Podstawiając

\tau=(\lambda +1) t

otrzymujemy warunek samopodobieństwa

f(\gamma \tau) = f(\tau)

gdzie

\gamma= \frac{1-\lambda}{\lambda +1}

Spełnia go np. funkcja złożona \sin[\log(e^{2 \pi} x)]= \sin[\log(x)]

z

\lambda=e^{2\pi}=1^{-i} więc w ogólności

f(\tau) = g[\log(\gamma \tau)]

gdzie g jest funkcją periodyczną z okresem \log(\gamma)

g[\tau+\log(\gamma)]= g(\tau)

i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie

u(x,t)=g[\log(t-x)] - g[\log(x+t)]


Zobacz też: Warunki brzegowe